数学
某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表： 期末分数段 （0，60） [60，75） [75，90） [90，105） [105，120） [120，150] 人数 5 10 15 10 5 5 “过关”人数

2019-11-22

某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：
期末分数段 （0，60） [60，75） [75，90） [90，105） [105，120） [120，150]
人数 5 10 15 10 5 5
“过关”人数 1 2 9 7 3 4
（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．
分数低于90分人数 分数不低于90分人数 合计
过关人数 ___ ___ ___
不过关人数 ___ ___ ___
合计 ___ ___ ___
（2）在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025
k 2.072 2.706 3.841 5.024
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
优质解答
（1）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6，
填写列联表如下；
分数低于9（0分）人数分数高于9（0分）人数合计
过关人数      12        14 26
不过关人数      18        6 24
合计      30        20  50
计算观测值K2=
50×(12×16-18×14)2
30×20×26×24
=
225
52
≈4.327>3.841，
对照数表知，有95%的把握认为期末数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关；
（2）在期末分数段[105，120）的5人中，有3人 测试“过关”，
随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3，
则P（X=1）=
C
2
2
•C
1
3
C
3
5
=
3
10
，
P（X=2）=
C
1
2
•C
2
3
C
3
5
=
6
10
，
P（X=3）=
C
3
3
C
3
5
=
1
10
；
所以，X的分布列为：
X123
P
3
10
6
10
1
10
X的数学期望为E（X）=1×
3
10
+2×
6
10
+3×
1
10
=
18
10
=1.8． （1）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6，
填写列联表如下；
分数低于9（0分）人数分数高于9（0分）人数合计
过关人数      12        14 26
不过关人数      18        6 24
合计      30        20  50
计算观测值K2=
50×(12×16-18×14)2
30×20×26×24
=
225
52
≈4.327>3.841，
对照数表知，有95%的把握认为期末数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关；
（2）在期末分数段[105，120）的5人中，有3人 测试“过关”，
随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3，
则P（X=1）=
C
2
2
•C
1
3
C
3
5
=
3
10
，
P（X=2）=
C
1
2
•C
2
3
C
3
5
=
6
10
，
P（X=3）=
C
3
3
C
3
5
=
1
10
；
所以，X的分布列为：
X123
P
3
10
6
10
1
10
X的数学期望为E（X）=1×
3
10
+2×
6
10
+3×
1
10
=
18
10
=1.8．
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