优质解答
（1）由题设知a^2=b^2+c^2,e=c/a,由点（1,e）在椭圆上,得（1/a^2）+（c^2/a^2b^2）=1,∴b=1,c^2=a^2-1
由点（e,√3/2）在椭圆上,得（e^2/a^2）+（3/b^2）=1
∴椭圆的方程为x^2/2+y^2=1
（2）由（1）得F1（-1,0）,F2（1,0）,
又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my
设A（X1,Y1）,B（X2,Y2）,Y1＞0,Y2＞0,
∴由x1^2/2+y1^2=1,x1+1=my1,可得（m^2+2）y1^2-2my1-1=0
∴y1=m+√（2m^2+2）/（m^2+2）
∴|AF1|=[√2（m^2+1）+m√（m^2+1）]/m^2+2······①
同理|BF2|=[√2（m^2+1）-m√（m^2+1）]/m^2+2······②
（i）由①②得|AF1|-|BF2|=[2m√（m^2+1）]/（m^2+2）,∴[2m√（m^2+1）]/（m^2+2）=（√6）/2,解m^2=2.
∵注意到m＞0,∴m=√2．
∴直线AF1的斜率为1/m=（√2）/2.
（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行,∴PB/PF1=BF2/AF1,即PF1=AF1/（AF1+BF2）×BF1.
由点B在椭圆上知,BF1+BF2=2√2,∴PF1=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）.
同理PF2=BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）.
∴PF1+PF2=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）+BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）=2√2-（2AF×BF2）/（AF1+BF2）
由①②得,AF1+BF2=2√2（m^2+1）/（m^2+2）,AF1×BF2=（m^2+1）/（m^2+2）,
∴PF1+PF2=（3√2）/2.
∴PF1+PF2是定值.
（1）由题设知a^2=b^2+c^2,e=c/a,由点（1,e）在椭圆上,得（1/a^2）+（c^2/a^2b^2）=1,∴b=1,c^2=a^2-1
由点（e,√3/2）在椭圆上,得（e^2/a^2）+（3/b^2）=1
∴椭圆的方程为x^2/2+y^2=1
（2）由（1）得F1（-1,0）,F2（1,0）,
又∵直线AF1与直线BF2平行,∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my
设A（X1,Y1）,B（X2,Y2）,Y1＞0,Y2＞0,
∴由x1^2/2+y1^2=1,x1+1=my1,可得（m^2+2）y1^2-2my1-1=0
∴y1=m+√（2m^2+2）/（m^2+2）
∴|AF1|=[√2（m^2+1）+m√（m^2+1）]/m^2+2······①
同理|BF2|=[√2（m^2+1）-m√（m^2+1）]/m^2+2······②
（i）由①②得|AF1|-|BF2|=[2m√（m^2+1）]/（m^2+2）,∴[2m√（m^2+1）]/（m^2+2）=（√6）/2,解m^2=2.
∵注意到m＞0,∴m=√2．
∴直线AF1的斜率为1/m=（√2）/2.
（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行,∴PB/PF1=BF2/AF1,即PF1=AF1/（AF1+BF2）×BF1.
由点B在椭圆上知,BF1+BF2=2√2,∴PF1=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）.
同理PF2=BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）.
∴PF1+PF2=AF1/（AF1+BF2）×（2√2-BF2）+BF2/（AF1+BF2）×（2√2-AF1）=2√2-（2AF×BF2）/（AF1+BF2）
由①②得,AF1+BF2=2√2（m^2+1）/（m^2+2）,AF1×BF2=（m^2+1）/（m^2+2）,
∴PF1+PF2=（3√2）/2.
∴PF1+PF2是定值.