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数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
数学归纳法填空题
1、用数学归纳法证明“(3n＋1)7n-1能被9整除(nÎN)”的第二步应为________.
2、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n＋3）=(nN)”,
当n=1时,左边应为____________.
3、已知{an}数列的前n项Sn=2n-an,则{an}的前四项依次为_______,猜想an=__________.
4、用数学归纳法证明某个命题时,左式为（n为正偶数）从”n=2k到n=2k+2”, 左边需增加的代数式是_____.
5、用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k到n=k+1”, 左边需增添的代数式是_____.
6、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n=(nÎN)的第二步应是；假设_______时等式成立,即_____________,那么当_________时,左边=1＋2＋…＋_______=(1＋2＋…＋_______)＋_________=_______＋_______=_________,右边=__________,故左边________右边,这就是说____________________.
7、已知数列{an}, a为常数且an=,Sn=a1+a2+…+an ,则S1 , S2 ,S3分别为___________,推测Sn的计算公式为_______.
8、用数学归纳法证明等式时,当n=1左边所得的项是 ；从””需增添的项是 .
9、用数学归纳法证明当时是31的倍数时,当n=1时原式为 ,从时需增添的项是 .
10、
用数学归纳法证明“当n³2且nÎN时,xn-nan-1x＋(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为_________________.
11、已知数列{an}满足a1=2a,an=2a-(n³2),用数学归纳法证明an=a的第一步是___________________.
12、用数学归纳法证明等式1·3·5+3·5·7+···+(2n-1)(2n+1)(2n+3)=n(n+2)·(2n2+4n-1)时,先算出n=1时,左边=_______,右边=__________,等式成立.
13、在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an-2,则此数列的四项分别为_______.猜想an的计算公式是_______.
14、用数学归纳法证明“当n是非负整数时55n+1＋45n+2＋35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时,55n+1＋45n+2＋35n=________=_______,能被11整除.
15、用数学归纳法证明1＋3＋6＋……＋=(nÎN)的第一步应是：当n=_____时,左边=____,右边=_____,∴左边_____右边,故_____.
16、用数学归纳法证明“56n+5＋76n+7能被9整除”的第二步中,为了使用归纳假设,应将56(k+1)+5＋76(k+1)+7变形为__________________.
17、设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+______.
18、已知数列{an}, a1=, 则a2, a3 , a4 ,a5分别为_________,猜想an=________.
19、探索表达式A=(n-1)n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1! (n>1且n∈N)的结果时,第一步n=___________时,A=__________.
20、用数学归纳法证明某个命题时,左式为1·2·3·4+2·3·4·5+n(n+1)(n+2)(n+3), 从 “n=k到n=k+1”,左边需增加的代数式是____.
21、用数学归纳法证明某命题时,若命题的左边是1＋＋＋＋…＋(nÎN),则n=k＋1时,左边应是n=k时的左边加上______________.
2、用数学归纳法证明1＋2＋22＋23＋……＋25n-1(nÎN)是31的倍数时,从“n=k®n=k＋1”需添的项是___________.
23、设Sk＝,那么Sk+1＝Sk＋_____
24、记平面内每两条棱交于两点,且任何三条不共点的几条抛物线,将平面划分的Z区域个数为f(n),则f(k＋1)＝f(k)＋____.
25、直线l上有k个点(k³2),由k个点确定的线段条数记为f(k),则l上增加一个点后,线段条数最多增加_______条.
26、平面上原有k个圆,它们的交点个数记为f(k),则增加第k＋1个圆后,交点个数最多增加_______个.
27、平面上原有k个圆,它们相交所成圆弧共有f(k)段,则增加第k＋1个与前k个圆均有两个交点,且不过前k个圆的交点的圆,则前k个圆的圆弧增加_________段.
28、设有通过一点的k个平面, 其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成个f(k)部分,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_____个部分.
29、平面内原有k条直线,这k条直线没有两条互相平行,没有三条交于同一点,它们互相分割成f(k)条线段或射线,则增加一条这样的直线,被分割的线段或射线增加________条.
30、平面上两两相交且任何三条不过同一点的k条直线将平面分面f(k)个部分,则k+1条直线把平面分成为f(k+1)=f(k)+_____个部分
31、已知凸k边形的内角和为f(k),则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)=____________.
32、设数列{an}满足a1=2,an+1=2an＋2,用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中,设n=k时结论成立,即ak=4·2k-1-2,那么当n=k＋1时,___________.
数学归纳法填空题 〈答案〉
1、 答案：略.
2、 1＋2＋3＋4
3、 1,
4、
5、 (2k+2)(2k+3)
6、 答案：略.
7、
8、 1＋2＋3；(2k＋2)＋(2k＋3)
9、 1＋2＋22＋23＋24；25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4.
10、 当n=2时,xn-nan-1x＋(n-1)an=x2-2ax＋a2=(x-a)2能被(x-a)2整除
11、 a2=2a-=2a-=a=
12、 1·3·5=15;1·3·(2+4-1)=15
13、 2,4,8,16;2n
14、 0,51＋42＋30,22
15、 1,1,1,=,成立
16、 76(56k+5＋76k+7)＋(56-76)·56k+5
17、 π
18、
19、2,1
20、 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
21、 ＋＋＋…＋
22、 25k＋25k+1＋…＋25k+4
23、
24、 2k＋1
25、 k
26、 2k
27、 2k
28、 2k
29、 2k＋1
30、 k+1
31、 f(k)＋
32、 ak+1=2ak＋2=2(4·2k-1-2)＋2=4·2k-2=4·2(k+1)－1-2
例1 求证：多项式xn+1+(x+1)2n-1(n∈N)能被多项式x2+x+1整除.
分析：与自然数有关的命题,常用数学归纳法证明,但在用
数学归纳法证明整除性问题时,为了凑假设,常需对n=k+1的情形进行添项和拆项.
证明：（1）当n=1时,x2+(x+1)显然能被x2+x+1整除.
例2 用数学归纳法证明：
评注：通常用数学归纳法证明关于含有自然数n的命题时,第一步只要检验n=1(或n=2,…)就可以了.本题在检验n=1不等式成立后,又继而检验n=2时,不等式也成立,这一做法不是多余的,因为后面的证明中要用到
例3 已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证：这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
证明：（1）当n=1时,1个平面把空间分为2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.
（2）假设当n=k时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),
当n=k+1时,第k+1个平面和其它每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分.
∴f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k
=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),
即n=k+1时,命题成立.
根据(1)、(2)知,n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
数学归纳法填空题
1、用数学归纳法证明“(3n＋1)7n-1能被9整除(nÎN)”的第二步应为________.
2、用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（n＋3）=(nN)”,
当n=1时,左边应为____________.
3、已知{an}数列的前n项Sn=2n-an,则{an}的前四项依次为_______,猜想an=__________.
4、用数学归纳法证明某个命题时,左式为（n为正偶数）从”n=2k到n=2k+2”, 左边需增加的代数式是_____.
5、用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k到n=k+1”, 左边需增添的代数式是_____.
6、用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n=(nÎN)的第二步应是；假设_______时等式成立,即_____________,那么当_________时,左边=1＋2＋…＋_______=(1＋2＋…＋_______)＋_________=_______＋_______=_________,右边=__________,故左边________右边,这就是说____________________.
7、已知数列{an}, a为常数且an=,Sn=a1+a2+…+an ,则S1 , S2 ,S3分别为___________,推测Sn的计算公式为_______.
8、用数学归纳法证明等式时,当n=1左边所得的项是 ；从””需增添的项是 .
9、用数学归纳法证明当时是31的倍数时,当n=1时原式为 ,从时需增添的项是 .
10、
用数学归纳法证明“当n³2且nÎN时,xn-nan-1x＋(n-1)an能被(x-a)2整除”的第一步应为_________________.
11、已知数列{an}满足a1=2a,an=2a-(n³2),用数学归纳法证明an=a的第一步是___________________.
12、用数学归纳法证明等式1·3·5+3·5·7+···+(2n-1)(2n+1)(2n+3)=n(n+2)·(2n2+4n-1)时,先算出n=1时,左边=_______,右边=__________,等式成立.
13、在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an-2,则此数列的四项分别为_______.猜想an的计算公式是_______.
14、用数学归纳法证明“当n是非负整数时55n+1＋45n+2＋35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时,55n+1＋45n+2＋35n=________=_______,能被11整除.
15、用数学归纳法证明1＋3＋6＋……＋=(nÎN)的第一步应是：当n=_____时,左边=____,右边=_____,∴左边_____右边,故_____.
16、用数学归纳法证明“56n+5＋76n+7能被9整除”的第二步中,为了使用归纳假设,应将56(k+1)+5＋76(k+1)+7变形为__________________.
17、设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+______.
18、已知数列{an}, a1=, 则a2, a3 , a4 ,a5分别为_________,猜想an=________.
19、探索表达式A=(n-1)n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1! (n>1且n∈N)的结果时,第一步n=___________时,A=__________.
20、用数学归纳法证明某个命题时,左式为1·2·3·4+2·3·4·5+n(n+1)(n+2)(n+3), 从 “n=k到n=k+1”,左边需增加的代数式是____.
21、用数学归纳法证明某命题时,若命题的左边是1＋＋＋＋…＋(nÎN),则n=k＋1时,左边应是n=k时的左边加上______________.
2、用数学归纳法证明1＋2＋22＋23＋……＋25n-1(nÎN)是31的倍数时,从“n=k®n=k＋1”需添的项是___________.
23、设Sk＝,那么Sk+1＝Sk＋_____
24、记平面内每两条棱交于两点,且任何三条不共点的几条抛物线,将平面划分的Z区域个数为f(n),则f(k＋1)＝f(k)＋____.
25、直线l上有k个点(k³2),由k个点确定的线段条数记为f(k),则l上增加一个点后,线段条数最多增加_______条.
26、平面上原有k个圆,它们的交点个数记为f(k),则增加第k＋1个圆后,交点个数最多增加_______个.
27、平面上原有k个圆,它们相交所成圆弧共有f(k)段,则增加第k＋1个与前k个圆均有两个交点,且不过前k个圆的交点的圆,则前k个圆的圆弧增加_________段.
28、设有通过一点的k个平面, 其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成个f(k)部分,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_____个部分.
29、平面内原有k条直线,这k条直线没有两条互相平行,没有三条交于同一点,它们互相分割成f(k)条线段或射线,则增加一条这样的直线,被分割的线段或射线增加________条.
30、平面上两两相交且任何三条不过同一点的k条直线将平面分面f(k)个部分,则k+1条直线把平面分成为f(k+1)=f(k)+_____个部分
31、已知凸k边形的内角和为f(k),则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)=____________.
32、设数列{an}满足a1=2,an+1=2an＋2,用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中,设n=k时结论成立,即ak=4·2k-1-2,那么当n=k＋1时,___________.
数学归纳法填空题 〈答案〉
1、 答案：略.
2、 1＋2＋3＋4
3、 1,
4、
5、 (2k+2)(2k+3)
6、 答案：略.
7、
8、 1＋2＋3；(2k＋2)＋(2k＋3)
9、 1＋2＋22＋23＋24；25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4.
10、 当n=2时,xn-nan-1x＋(n-1)an=x2-2ax＋a2=(x-a)2能被(x-a)2整除
11、 a2=2a-=2a-=a=
12、 1·3·5=15;1·3·(2+4-1)=15
13、 2,4,8,16;2n
14、 0,51＋42＋30,22
15、 1,1,1,=,成立
16、 76(56k+5＋76k+7)＋(56-76)·56k+5
17、 π
18、
19、2,1
20、 (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
21、 ＋＋＋…＋
22、 25k＋25k+1＋…＋25k+4
23、
24、 2k＋1
25、 k
26、 2k
27、 2k
28、 2k
29、 2k＋1
30、 k+1
31、 f(k)＋
32、 ak+1=2ak＋2=2(4·2k-1-2)＋2=4·2k-2=4·2(k+1)－1-2
例1 求证：多项式xn+1+(x+1)2n-1(n∈N)能被多项式x2+x+1整除.
分析：与自然数有关的命题,常用数学归纳法证明,但在用
数学归纳法证明整除性问题时,为了凑假设,常需对n=k+1的情形进行添项和拆项.
证明：（1）当n=1时,x2+(x+1)显然能被x2+x+1整除.
例2 用数学归纳法证明：
评注：通常用数学归纳法证明关于含有自然数n的命题时,第一步只要检验n=1(或n=2,…)就可以了.本题在检验n=1不等式成立后,又继而检验n=2时,不等式也成立,这一做法不是多余的,因为后面的证明中要用到
例3 已知n个平面都过同一点,但其中任何三个平面都不经过同一直线,求证：这n个平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
证明：（1）当n=1时,1个平面把空间分为2部分,而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.
（2）假设当n=k时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为f(k)=k(k-1)+2(部分),
当n=k+1时,第k+1个平面和其它每一个平面相交,使其所分成的空间都增加2部分,所以共增加2k部分.
∴f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2+2k
=k(k-1+2)+2=(k+1)[(k+1)-1]+2(部分),
即n=k+1时,命题成立.
根据(1)、(2)知,n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.