1.设细棒质量为m,则其线密度为m/L,细棒对转轴的转动惯量为(积分上限L下限0)：
I=∫(m/L)r²dr=mL²/3 ,
棒开始转动时所受重力矩为(积分上限L下限0)：
M=∫(m/L)grdr=mgL/2 ,根据刚体的定轴转动定律,M=Iα,故棒开始转动时的角加速度为：
α=M/I=1.5g/L.
2.设棒在任意时刻与水平方向的夹角为θ,则所受合外力矩即重力矩为(积分上限L下限0)：
M=∫(m/L)gr*cosθdr=mgL*cosθ/2 ,
根据刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对棒做的功等于刚体动能的增量,即(积分上限π/2下限0)：
M=∫Mdθ=Iω²/2-0=∫(mgL*cosθ/2) dθ=mgL/2 ,
亦等于细棒重力势能的变化.
附：这样说也许更清楚——
合外力矩亦即重力矩对棒做的功等于刚体动能的增量,而刚体动能的增量等于重力势能的减小量(变化量),即机械能守恒.也可以说重力矩做功了,做的功等于细棒重力势能的减小. 1.设细棒质量为m,则其线密度为m/L,细棒对转轴的转动惯量为(积分上限L下限0)：
I=∫(m/L)r²dr=mL²/3 ,
棒开始转动时所受重力矩为(积分上限L下限0)：
M=∫(m/L)grdr=mgL/2 ,根据刚体的定轴转动定律,M=Iα,故棒开始转动时的角加速度为：
α=M/I=1.5g/L.
2.设棒在任意时刻与水平方向的夹角为θ,则所受合外力矩即重力矩为(积分上限L下限0)：
M=∫(m/L)gr*cosθdr=mgL*cosθ/2 ,
根据刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对棒做的功等于刚体动能的增量,即(积分上限π/2下限0)：
M=∫Mdθ=Iω²/2-0=∫(mgL*cosθ/2) dθ=mgL/2 ,
亦等于细棒重力势能的变化.
附：这样说也许更清楚——
合外力矩亦即重力矩对棒做的功等于刚体动能的增量,而刚体动能的增量等于重力势能的减小量(变化量),即机械能守恒.也可以说重力矩做功了,做的功等于细棒重力势能的减小.