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数学活动课·页码问题
顾名思义,页码问题与图书的页码有密切联系．事实上,页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题．
编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?反过来,知道编一本书的页码所需的数码数量,求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容．
为了顺利地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．一位数共有9个,组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90＝180(个)数码；三位数共有900个,组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码……为了清楚起见,我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：
由上表看出,如果一本书不足100页,那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个；如果某本书排的页码用了10000个数码,因为
2889＜10000＜38889,
所以这本书肯定是上千页．
下面,我们看几道例题．
例1 一本书共204页,需多少个数码编页码?
分析与1～9页每页上的页码是一位数,共需数码
1×9＝9(个)；
10～99页每页上的页码是两位数,共需数码
2×90＝180(个)；
100～204页每页上的页码是三位数,共需数码
(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)．
综上所述,这本书共需数码
9＋180＋315＝504(个)．
例2 一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页?
分析：因为189＜2211＜2889,所以这本书有几百页．由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个,所以三位数的页数有
(2211－189)÷3＝674(页)．
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有
99＋674＝773(页)．
99＋(2211－189)÷3＝773(页)．
答：这本书共有773页．
例3 一本书的页码从1至62,即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次．结果,得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几?
分析与因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1＋2＋…＋61＋62
＝62×(62＋1)÷2
＝31×63
＝1953．
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是
2000－1953＝47．
例4 有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131．老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
分析与48页书的所有页码数之和为
1＋2＋…＋48
＝48×(48＋1)÷2
＝1176．
按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的．
例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少?
分析与本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000－189)÷3＝603……2,所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．
例6 排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
分析与将1～400分为四组：
1～100,101～200,201～300,301～400．
在1～100中共出现11次0,其余各组每组都比1～100多出现9次0,即每组出现20次0．所以共需要数码“0”
11＋20×3＝71(个)．
数学活动课·页码问题
顾名思义,页码问题与图书的页码有密切联系．事实上,页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题．
编一本书的页码,一共需要多少个数码呢?反过来,知道编一本书的页码所需的数码数量,求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容．
为了顺利地解答页码问题,我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．一位数共有9个,组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90＝180(个)数码；三位数共有900个,组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码……为了清楚起见,我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：
由上表看出,如果一本书不足100页,那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个；如果某本书排的页码用了10000个数码,因为
2889＜10000＜38889,
所以这本书肯定是上千页．
下面,我们看几道例题．
例1 一本书共204页,需多少个数码编页码?
分析与1～9页每页上的页码是一位数,共需数码
1×9＝9(个)；
10～99页每页上的页码是两位数,共需数码
2×90＝180(个)；
100～204页每页上的页码是三位数,共需数码
(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)．
综上所述,这本书共需数码
9＋180＋315＝504(个)．
例2 一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页?
分析：因为189＜2211＜2889,所以这本书有几百页．由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个,所以三位数的页数有
(2211－189)÷3＝674(页)．
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有
99＋674＝773(页)．
99＋(2211－189)÷3＝773(页)．
答：这本书共有773页．
例3 一本书的页码从1至62,即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次．结果,得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几?
分析与因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1＋2＋…＋61＋62
＝62×(62＋1)÷2
＝31×63
＝1953．
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是
2000－1953＝47．
例4 有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131．老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
分析与48页书的所有页码数之和为
1＋2＋…＋48
＝48×(48＋1)÷2
＝1176．
按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的．
例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少?
分析与本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000－189)÷3＝603……2,所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．
例6 排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
分析与将1～400分为四组：
1～100,101～200,201～300,301～400．
在1～100中共出现11次0,其余各组每组都比1～100多出现9次0,即每组出现20次0．所以共需要数码“0”
11＋20×3＝71(个)．