阅读与思考：婆罗摩笈多是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明如下：已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于点F，求证：F是AD中点证明∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME

2019-05-22

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阅读与思考：
婆罗摩笈多是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明如下：
已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于点F，求证：F是AD中点
证明∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，∴AF=DF即F是AD中点．
请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明：
（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC．
（2）已知：如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA并求PN的长．
作业帮

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（1）∵AC⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∵F是AD的中点，
∴AF=MF=DF，
∴∠FAM=∠FMA，
∠FMD=∠FDM，
∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，
∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°，
∴ME⊥BC；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，
∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°，
∴∠APC=180°-45°-45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠APC=90°，
∴AD⊥BC，
∵ON⊥CD，
∴由垂径定理可知：N是CD的中点，
∴由（1）的证明过程可知：PM⊥BA
∵AB=2，∠B=30°，
∴AP=1，
∴PC=1，
∵∠D=30°，
∴CD=2PC=2，
∵N是CD的中点，∠CPD=90°，
∴PN=

1

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CD=1，（1）∵AC⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∵F是AD的中点，
∴AF=MF=DF，
∴∠FAM=∠FMA，
∠FMD=∠FDM，
∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，
∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°，
∴ME⊥BC；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，
∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°，
∴∠APC=180°-45°-45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠APC=90°，
∴AD⊥BC，
∵ON⊥CD，
∴由垂径定理可知：N是CD的中点，
∴由（1）的证明过程可知：PM⊥BA
∵AB=2，∠B=30°，
∴AP=1，
∴PC=1，
∵∠D=30°，
∴CD=2PC=2，
∵N是CD的中点，∠CPD=90°，
∴PN=

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CD=1，