在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．此时，有结论AE=MN，请进行证明；（2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF=FG，请利用图2做出证明．（3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接
2019-03-29
在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．此时，有结论AE=MN，请进行证明；
（2）如图2：当点F为AE中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN 与BD交于点G，连接BF，此时有结论：BF=FG，请利用图2做出证明．
（3）如图3：当点E为直线BC上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN分别交直线AB、CD于点M、N，请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系．
优质解答
证明：（1）在图1中，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90°，
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴AE=PD=MN；
（2）在图2中，连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG，
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由图可知∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF=FG；
（3）①AE与 MN的数量关系是：AE=MN，理由是：
如图3，过N作NQ⊥AB于Q，
∵∠NMQ=∠AMF，∠AMF=∠AEB，
∴∠AEB=∠NMQ，
∵AB=BC=QN，∠ABE=∠NQM=90°，
∴△AEB≌△NMQ，
∴AE=MN；
②BF与FG的数量关系是：BF=FG，
理由是：如图4，连接AG、EG、CG，
同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，
∵∠GCE+∠GCD=90°，
∴∠GAD+∠GEC=90°，
∵AD∥EC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF=FG．
证明：（1）在图1中，过点D作PD∥MN交AB于P，则∠APD=∠AMN，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，AB∥DC，∠DAB=∠B=90°，
∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD，
又∵AB=AD，∠B=∠DAP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴AE=PD=MN；
（2）在图2中，连接AG、EG、CG，
由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG，
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
由图可知∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF=FG；
（3）①AE与 MN的数量关系是：AE=MN，理由是：
如图3，过N作NQ⊥AB于Q，
∵∠NMQ=∠AMF，∠AMF=∠AEB，
∴∠AEB=∠NMQ，
∵AB=BC=QN，∠ABE=∠NQM=90°，
∴△AEB≌△NMQ，
∴AE=MN；
②BF与FG的数量关系是：BF=FG，
理由是：如图4，连接AG、EG、CG，
同理得：∠GAD=∠GCD，∠GEC=∠GCE，
∵∠GCE+∠GCD=90°，
∴∠GAD+∠GEC=90°，
∵AD∥EC，
∴∠DAE+∠AEC=180°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF=FG．