卓里奇《数学分析》上的2个问题1.试证对于平面上平移、旋转、位似变换（位似比小于1）的任意复合（不包括单纯的平移）,总存在一个不动点.2.该书对复合函数的定义中指出f：X→Y,g：Y→X,且g定义在f的值域（设为B）上,那么有Y包含于B,又显然有B包含于Y,那么有B=Y,这说明f必须是满射,换句话说如果X是一元集,Y是二元集,那么f与g不能复合.但是后面有一道习题却出现了f与g复合的情况,矛盾了!我个人认为f必须是满射是荒谬的,张筑生的数学分析新讲上就说只需要f的值域(B)包含于g的定义域(Y),那么“g
2019-04-10
卓里奇《数学分析》上的2个问题
1.试证对于平面上平移、旋转、位似变换（位似比小于1）的任意复合（不包括单纯的平移）,总存在一个不动点.
2.该书对复合函数的定义中指出f：X→Y,g：Y→X,且g定义在f的值域（设为B）上,那么有Y包含于B,又显然有B包含于Y,那么有B=Y,这说明f必须是满射,换句话说如果X是一元集,Y是二元集,那么f与g不能复合.但是后面有一道习题却出现了f与g复合的情况,矛盾了!
我个人认为f必须是满射是荒谬的,张筑生的数学分析新讲上就说只需要f的值域(B)包含于g的定义域(Y),那么“g定义在f的值域”这句话是不是有问题（这两种说法显然是矛盾的）,或者是我理解错了?
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第一题的思路是对平面上任意点x,考虑点列x,f(x),f2(x),f3(x).其中fi(x)是f对x的i次复合.因为位似比小于1,这是一个cauchy点列,必收敛于平面上一点,此点即是不动点.
这题在泛函里有个更一般的结果叫“压缩映射原理”；对于这道题,不论是否是平移旋转位似,只要任何两点在映射下的像点的距离与原距离的比有小于1的上界,就一定有唯一不动点.
第二题个人认为没有必要较这个真,有的定义在不同书里不同问题下都有细微差别,像什么原映射逆映射是不是单射满射,定义域值域哪个包含哪个,什么条件下有意义,都是人为定义的.只要遇到具体问题的时候思维严密就行了.
第一题的思路是对平面上任意点x,考虑点列x,f(x),f2(x),f3(x).其中fi(x)是f对x的i次复合.因为位似比小于1,这是一个cauchy点列,必收敛于平面上一点,此点即是不动点.
这题在泛函里有个更一般的结果叫“压缩映射原理”；对于这道题,不论是否是平移旋转位似,只要任何两点在映射下的像点的距离与原距离的比有小于1的上界,就一定有唯一不动点.
第二题个人认为没有必要较这个真,有的定义在不同书里不同问题下都有细微差别,像什么原映射逆映射是不是单射满射,定义域值域哪个包含哪个,什么条件下有意义,都是人为定义的.只要遇到具体问题的时候思维严密就行了.