数学
（理科）某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是 2 3 ，（1）若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；（2）若5人中恰有r人合格的概率为 80 243 ，求r的值；（3）记测试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．

2020-04-29

（理科）某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是
2
3
，（1）若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；
（2）若5人中恰有r人合格的概率为
80
243
，求r的值；
（3）记测试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．
优质解答
（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C 3 1 =3种，
记“体育教师不坐后排”为事件A，则 P(A)=
C 3 1
C 6 1
=
1
2
．-----（4分）
（2）每位考生测试合格的概率 P=
2
3
，测试不合格的概率为 1-P=
1
3

则 P 5 (r)= C 5 r P r (1-P ) 5-r =
80
243
，即 C 5 r (
2
3
) r (
1
3
) 5-r =
C 5 r 2 r
3 5
=
80
243
，
∴C 5 r 2 r =80，解得：r=3，4．
（3）由题意可得：ξ～ B(5，
2
3
) ，
∴ Eξ=5×
2
3
=
10
3
， Dξ=5×
2
3
×
1
3
=
10
9
----（12分）
（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C 3 1 =3种，
记“体育教师不坐后排”为事件A，则 P(A)=
C 3 1
C 6 1
=
1
2
．-----（4分）
（2）每位考生测试合格的概率 P=
2
3
，测试不合格的概率为 1-P=
1
3

则 P 5 (r)= C 5 r P r (1-P ) 5-r =
80
243
，即 C 5 r (
2
3
) r (
1
3
) 5-r =
C 5 r 2 r
3 5
=
80
243
，
∴C 5 r 2 r =80，解得：r=3，4．
（3）由题意可得：ξ～ B(5，
2
3
) ，
∴ Eξ=5×
2
3
=
10
3
， Dξ=5×
2
3
×
1
3
=
10
9
----（12分）
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