解含有分母的一元一次方程三注意
一元一次方程的类型丰富多彩,其中有一类含有分母,是一元一次方程中比较难解的一种类型．在解含有分母的一元一次方程时,需要注意以下三个问题：
一、注意三种常见错误
1．去分母时漏乘不含分母的项
例1 解方程：
去分母,得3(x+2)=2(2x+3)-1(下略)
剖析：在去分母时,应用各分母的最小公倍数去乘方程中的每一项,上述解法错在漏乘了不含分母的项-1．
去分母,得3(x+2)=2(2x+3)-12(下略)
2．忽视分数线的括号作用
例2 解方程：
去分母,得4x-1-6x+1=10x+1-6(下略)
剖析：分数线具有双层作用：一是表示除号,二是具有括号的作用．所以,在去分母后分数线不存在时,应将分子中的多项式中用括号括起来,以免发生错误．
去分母,得2(2x-1)-3(2x+1)=10x+1-6(下略)
3．混淆分数的基本性质与等式性质2
例3 解方程：
原方程可化为 (下略)
剖析：将分母中的小数化为整数,其根据是分数的基本性质,这种变形仅限于分数本身,它与方程中的其他项无关．这里却把分数本身的变形误认为是等式的变形,在分子、分母扩大10倍的同时,方程的右边也扩大了10倍．
原方程可化为 (下略)
二、注意不要急于去分母
在解含有分母的一元一次方程时,一般说来要去分母﹒但对于某些含有分母的一元一次方程,若能注意观察方程的特点,运用一定的方法和技巧,则能避免去分母的繁琐,收到事半功倍之效﹒
1．巧用分数加减法则
例4 解方程 ﹒
分析：注意到 ﹒不必去分母,便可迅速求解﹒
移项,得 ﹒所以 ﹒
2．逆用分数通分法则
例5 解方程 ﹒
分析：注意到 与 之差为1,移项合并可使右边为0,故先不去分母,而逆用分数的通分法则化简﹒
原方程可化为 ﹒
移项、合并同类项,得 ﹒
所以 ﹒
3．化分数为小数
例6 解方程 ﹒
分析：注意到 ,﹒本题先把分数化成小数解法简捷﹒
解 原方程可化为 ﹒
去括号,得 ﹒
移项、合并同类项,得 ﹒所以 ﹒
4．巧用加1减1
例7 解方程 ﹒
分析：原方程即 ,注意到三个分数的分子中的常数均比其系数的分母小1,用“+1、-1”法拼凑后,各项均含有y-1,且常数项可合并为0
原方程可化为 ﹒
即 ﹒
﹒
∴y-1=0,y=1﹒
三、注意灵活去分母
1．先分组通分,再去分母
例8 解方程
分析：方程中 与 的分母具有倍数关系,与 的分母具有倍数关系,移项、分组通分化简,可简化解题过程．
移项,得 ．
两边分别通分,得
整理,得 ．
去分母,得-12=20-5x
x=6.4．
2．巧乘“最小公倍数”去分母
例9 解方程：
分析：此方程的特征是：方程中三项的分子与分母都含有小数,常规方法是先根据分数的基本性质,将小数化为整数,然后再解方程．若将方程两边同时乘以各分母的“最小公倍数”1,则不需要将小数化为整数,可以避免混淆分数的基本性质与等式的性质2而致错,而且达到了去分母的目的．
原方程各项乘以1,得
10(0.2x-2.7)+5(2x+1.6)=2(1.5x+4)
即2x-27+10x+8=3x+8
移项、合并同类项,得9x=27．
∴x=3． 解含有分母的一元一次方程三注意
一元一次方程的类型丰富多彩,其中有一类含有分母,是一元一次方程中比较难解的一种类型．在解含有分母的一元一次方程时,需要注意以下三个问题：
一、注意三种常见错误
1．去分母时漏乘不含分母的项
例1 解方程：
去分母,得3(x+2)=2(2x+3)-1(下略)
剖析：在去分母时,应用各分母的最小公倍数去乘方程中的每一项,上述解法错在漏乘了不含分母的项-1．
去分母,得3(x+2)=2(2x+3)-12(下略)
2．忽视分数线的括号作用
例2 解方程：
去分母,得4x-1-6x+1=10x+1-6(下略)
剖析：分数线具有双层作用：一是表示除号,二是具有括号的作用．所以,在去分母后分数线不存在时,应将分子中的多项式中用括号括起来,以免发生错误．
去分母,得2(2x-1)-3(2x+1)=10x+1-6(下略)
3．混淆分数的基本性质与等式性质2
例3 解方程：
原方程可化为 (下略)
剖析：将分母中的小数化为整数,其根据是分数的基本性质,这种变形仅限于分数本身,它与方程中的其他项无关．这里却把分数本身的变形误认为是等式的变形,在分子、分母扩大10倍的同时,方程的右边也扩大了10倍．
原方程可化为 (下略)
二、注意不要急于去分母
在解含有分母的一元一次方程时,一般说来要去分母﹒但对于某些含有分母的一元一次方程,若能注意观察方程的特点,运用一定的方法和技巧,则能避免去分母的繁琐,收到事半功倍之效﹒
1．巧用分数加减法则
例4 解方程 ﹒
分析：注意到 ﹒不必去分母,便可迅速求解﹒
移项,得 ﹒所以 ﹒
2．逆用分数通分法则
例5 解方程 ﹒
分析：注意到 与 之差为1,移项合并可使右边为0,故先不去分母,而逆用分数的通分法则化简﹒
原方程可化为 ﹒
移项、合并同类项,得 ﹒
所以 ﹒
3．化分数为小数
例6 解方程 ﹒
分析：注意到 ,﹒本题先把分数化成小数解法简捷﹒
解 原方程可化为 ﹒
去括号,得 ﹒
移项、合并同类项,得 ﹒所以 ﹒
4．巧用加1减1
例7 解方程 ﹒
分析：原方程即 ,注意到三个分数的分子中的常数均比其系数的分母小1,用“+1、-1”法拼凑后,各项均含有y-1,且常数项可合并为0
原方程可化为 ﹒
即 ﹒
﹒
∴y-1=0,y=1﹒
三、注意灵活去分母
1．先分组通分,再去分母
例8 解方程
分析：方程中 与 的分母具有倍数关系,与 的分母具有倍数关系,移项、分组通分化简,可简化解题过程．
移项,得 ．
两边分别通分,得
整理,得 ．
去分母,得-12=20-5x
x=6.4．
2．巧乘“最小公倍数”去分母
例9 解方程：
分析：此方程的特征是：方程中三项的分子与分母都含有小数,常规方法是先根据分数的基本性质,将小数化为整数,然后再解方程．若将方程两边同时乘以各分母的“最小公倍数”1,则不需要将小数化为整数,可以避免混淆分数的基本性质与等式的性质2而致错,而且达到了去分母的目的．
原方程各项乘以1,得
10(0.2x-2.7)+5(2x+1.6)=2(1.5x+4)
即2x-27+10x+8=3x+8
移项、合并同类项,得9x=27．
∴x=3．