如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）． （1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-05-07
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
优质解答
（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4，
将A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5．
（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，
由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴=，
即=，
求得⊙C的半径CE===；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．
（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，-5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，
∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点F与点C重合，故舍去，
∴m=2，
∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，-5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵PA⊥AC，
∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，
∴m+n=-5 ①
又点P在抛物线上，
∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点F与原点重合，故舍去，
∴m=7，
∴n=-12，
∴点P坐标为（7，-12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，-12）．
（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4，
将A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5．
（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，
由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴=，
即=，
求得⊙C的半径CE===；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．
（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，-5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，
∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点F与点C重合，故舍去，
∴m=2，
∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，-5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵PA⊥AC，
∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，
∴m+n=-5 ①
又点P在抛物线上，
∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点F与原点重合，故舍去，
∴m=7，
∴n=-12，
∴点P坐标为（7，-12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，-12）．