求数学圆锥曲线经典结论证明.1过椭圆的一个焦点F的直线与椭圆交于2点P·Q,A1A2为椭圆长轴上两顶点,A1P和A2Q交于M,A2P和A1Q交于N,证MF垂直于NF.2P·Q为椭圆上两动点,且OP垂直于OQ.证：（1）(1/OP^2)+(1/OQ^2)=1/a^2+1/b^2(2)OP^2+OQ^2的最大值为（4a^2b^2)/(a^2+b^2)(3)OPQ面积的最小值为a^2b^2/(a^2+b^2)还有不是我不想加分,只是我真没有啊,抱歉啊.不用太详细,讲清即可.
2019-04-13
求数学圆锥曲线经典结论证明.
1过椭圆的一个焦点F的直线与椭圆交于2点P·Q,A1A2为椭圆长轴上两顶点,A1P和A2Q交于M,A2P和A1Q交于N,证MF垂直于NF.
2P·Q为椭圆上两动点,且OP垂直于OQ.证：（1）(1/OP^2)+(1/OQ^2)=1/a^2+1/b^2
(2)OP^2+OQ^2的最大值为（4a^2b^2)/(a^2+b^2)
(3)OPQ面积的最小值为a^2b^2/(a^2+b^2)
还有不是我不想加分,只是我真没有啊,抱歉啊.不用太详细,讲清即可.
优质解答
要先建系,抛物线顶点为原点,焦点在x轴或者y轴
倒是无所谓的,我证在y轴上的
设x^2=2py(p>0),则准线上任意一点P(x0,-p/2),设抛物线上有一点Q(x,x^2/2p)使PQ与其相切,则
f'(x)=x/p,所以(x^2/2p+ p/2)/x-x0=x/p,整理得x^2-2x0x-p^2=0设两切点分别Q1(x1,x1^2/2p)Q2(x2,x2^2/2p) x1x2=-p^2
PQ1向量=(x1,x1^2/2p -p/2)PQ2向量=(x2,x2^2/2p -p/2)据向量共线定理
x1(x2^2/2p -p)-x2(x1^2/2p -p)=x1x2(x2-x1)/2p +p(x2-x1)/2=(x2-x1)(x1x2/2p +p/2)=0
即PQ1向量PQ2向量共线所以三点共线
要先建系,抛物线顶点为原点,焦点在x轴或者y轴
倒是无所谓的,我证在y轴上的
设x^2=2py(p>0),则准线上任意一点P(x0,-p/2),设抛物线上有一点Q(x,x^2/2p)使PQ与其相切,则
f'(x)=x/p,所以(x^2/2p+ p/2)/x-x0=x/p,整理得x^2-2x0x-p^2=0设两切点分别Q1(x1,x1^2/2p)Q2(x2,x2^2/2p) x1x2=-p^2
PQ1向量=(x1,x1^2/2p -p/2)PQ2向量=(x2,x2^2/2p -p/2)据向量共线定理
x1(x2^2/2p -p)-x2(x1^2/2p -p)=x1x2(x2-x1)/2p +p(x2-x1)/2=(x2-x1)(x1x2/2p +p/2)=0
即PQ1向量PQ2向量共线所以三点共线