数学中的皇冠——数论
数论是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支.它与几何学一样,是最古老的而又始终活跃着的数学研究领域.
素数分布是数论最早的研究课题,欧几里得就曾证明过素数有无穷多个.历史上的绝大多数数学家都进行过数论方面的研究.
长期以来,数论只具有在纯粹数学中的基础性质,而被认为没有直接的应用价值.随着计算机的产生与发展给科学技术带来了巨大而深刻的变革.这使数论有了非常广泛的应用途径.
无论什么问题都必须离散化后才能在计算机上进行数值计算,所以离散数学显得日益重要,而离散数学的基础之一就是数论.
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要,数的概念进一步扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的中性数叫做0.它们和起来叫做整数.
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算.其中加法、减法和乘法这三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行.也就是说,任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数.但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行.
人们在对整数进行运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性.比如,整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等.利用整数的一些基本性质,可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅力,吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索.
数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论.后来整数论又进一步发展,就叫做数论了.确切的说,数论就是一门研究整数性质的学科.
数论的发展简况
自古以来,数学家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科.
自我国古代,许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等.在国外,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了.后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献,使数论的基本理论逐步得到完善.数学王子—高斯
在整数性质的研究中,人们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质.因此关于质数性质的有关问题,一直受到数学家的关注.
到了十八世纪末,历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了.德国数学家高斯集中前人的大成,写了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作.这部书开始了现代数论的新纪元.
在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时现存的定理系统化并进行了推广,把要研究的问题和意志的方法进行了分类,还引进了新的方法.
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后,随着数学其他分支的发展,研究数论的方法也在不断发展.如果按照研究方法来说,可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分.
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助,只依靠初等的方法来研究整数性质的分支.比如中国古代有名的“中国剩余定理”,就是初等数论中很重要的内容.
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支.数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科.用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的,俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献.解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具.比如,对于“质数有无限多个”这个命题,欧拉给出了解析方法的证明,其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识.二十世纪三十年代,苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”,这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用.我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法.
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支.数学家把整数概念推广到一般代数数域上去,相应地也建立了素整数、可除性等概念.
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的.几何数论研究的基本对象是“空间格网”.什么是空间格网呢?在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网.空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义.由于几何数论涉及的问题比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究.
数论是一门高度抽象的数学学科,长期以来,它的发展处于纯理论的研究状态,它对数学理论的发展起到了积极的作用.但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义.
由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到了广泛的应用.比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道,现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等.此外,数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用.特别是现在由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能.
数论在数学中的地位是独特的,高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”.因此,数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓励人们去“摘取”.下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代,数论也是发展最早的数学分支之一.从二十世纪三十年代开始,在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献,出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家.其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的.1949年以后,数论的研究的得到了更大的发展.特别是在 “筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究,已取得世界领先的优秀成绩.
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后,在国际数学引起了强烈的反响,盛赞陈景润的论文是解析数学的名作,是筛法的光辉顶点.至今,这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果.


其它数学分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学
还有下面这个网站可以让你查到你想要的很多东西：
http://shulun.stu.hsfz.net/special.htm数论研究网 数学中的皇冠——数论
数论是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支.它与几何学一样,是最古老的而又始终活跃着的数学研究领域.
素数分布是数论最早的研究课题,欧几里得就曾证明过素数有无穷多个.历史上的绝大多数数学家都进行过数论方面的研究.
长期以来,数论只具有在纯粹数学中的基础性质,而被认为没有直接的应用价值.随着计算机的产生与发展给科学技术带来了巨大而深刻的变革.这使数论有了非常广泛的应用途径.
无论什么问题都必须离散化后才能在计算机上进行数值计算,所以离散数学显得日益重要,而离散数学的基础之一就是数论.
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要,数的概念进一步扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的中性数叫做0.它们和起来叫做整数.
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算.其中加法、减法和乘法这三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行.也就是说,任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数.但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行.
人们在对整数进行运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性.比如,整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等.利用整数的一些基本性质,可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅力,吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索.
数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论.后来整数论又进一步发展,就叫做数论了.确切的说,数论就是一门研究整数性质的学科.
数论的发展简况
自古以来,数学家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科.
自我国古代,许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等.在国外,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了.后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献,使数论的基本理论逐步得到完善.数学王子—高斯
在整数性质的研究中,人们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质.因此关于质数性质的有关问题,一直受到数学家的关注.
到了十八世纪末,历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了.德国数学家高斯集中前人的大成,写了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作.这部书开始了现代数论的新纪元.
在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时现存的定理系统化并进行了推广,把要研究的问题和意志的方法进行了分类,还引进了新的方法.
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后,随着数学其他分支的发展,研究数论的方法也在不断发展.如果按照研究方法来说,可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分.
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助,只依靠初等的方法来研究整数性质的分支.比如中国古代有名的“中国剩余定理”,就是初等数论中很重要的内容.
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支.数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科.用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的,俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献.解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具.比如,对于“质数有无限多个”这个命题,欧拉给出了解析方法的证明,其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识.二十世纪三十年代,苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”,这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用.我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法.
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支.数学家把整数概念推广到一般代数数域上去,相应地也建立了素整数、可除性等概念.
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的.几何数论研究的基本对象是“空间格网”.什么是空间格网呢?在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网.空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义.由于几何数论涉及的问题比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究.
数论是一门高度抽象的数学学科,长期以来,它的发展处于纯理论的研究状态,它对数学理论的发展起到了积极的作用.但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义.
由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到了广泛的应用.比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道,现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等.此外,数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用.特别是现在由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能.
数论在数学中的地位是独特的,高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”.因此,数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓励人们去“摘取”.下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代,数论也是发展最早的数学分支之一.从二十世纪三十年代开始,在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献,出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家.其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的.1949年以后,数论的研究的得到了更大的发展.特别是在 “筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究,已取得世界领先的优秀成绩.
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后,在国际数学引起了强烈的反响,盛赞陈景润的论文是解析数学的名作,是筛法的光辉顶点.至今,这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果.


其它数学分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学
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