优质解答
这是个欧拉积分,没办法求出原函数.方法可以有下面两种
1.利用加玛函数r(s)=∫x^(s-1) *[e^(-x)]dx,由贝塔函数可知r(0.5)=√π,
在∫e^(-x²)dx中令x²=t,则∫e^(-x²)dx=0.5r(0.5)=0.5*√π （积分区间均为0到正无穷大）
从而∫e^(-x²)dx=√π,积分区间是(-∞,+∞)
2.在第一象限中画出一个半径为R和√2R的四分之一圆,再画一个边长为R的正方形
令半径为R的四分之一圆区域为D1,半径为√2R的四分之一圆区域为D2,正方形区域为D,因为
∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy≤∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy≤∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy ,从左到右的积分区域分别为D1,D,D2
所以求解上面每一个二重积分,可以知道
(π/4)(1-e^(-R^2))≤[∫e^(-x²)dx]²≤(π/4)(1-e^(-2R^2)) 中间的积分区域是0到R
然后令上式的R趋于正无穷大时,两边极限都为π/4
所以中间的极限为π/4
开根号以后就可以知道∫e^(-x²)dx=0.5*√π ,（积分区间均为0到正无穷大）
从而∫e^(-x²)dx=√π,积分区间是(-∞,+∞)
综上∫e^(-x²)dx=√π,积分区间是(-∞,+∞)
这个积分很重要,在概率中正态分布的概率密度就跟它有关系,所以你最好要好好理解一下,希望对你有所帮助
这是个欧拉积分,没办法求出原函数.方法可以有下面两种
1.利用加玛函数r(s)=∫x^(s-1) *[e^(-x)]dx,由贝塔函数可知r(0.5)=√π,
在∫e^(-x²)dx中令x²=t,则∫e^(-x²)dx=0.5r(0.5)=0.5*√π （积分区间均为0到正无穷大）
从而∫e^(-x²)dx=√π,积分区间是(-∞,+∞)
2.在第一象限中画出一个半径为R和√2R的四分之一圆,再画一个边长为R的正方形
令半径为R的四分之一圆区域为D1,半径为√2R的四分之一圆区域为D2,正方形区域为D,因为
∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy≤∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy≤∫∫e^(-x^2*y^2)dxdy ,从左到右的积分区域分别为D1,D,D2
所以求解上面每一个二重积分,可以知道
(π/4)(1-e^(-R^2))≤[∫e^(-x²)dx]²≤(π/4)(1-e^(-2R^2)) 中间的积分区域是0到R
然后令上式的R趋于正无穷大时,两边极限都为π/4
所以中间的极限为π/4
开根号以后就可以知道∫e^(-x²)dx=0.5*√π ,（积分区间均为0到正无穷大）
从而∫e^(-x²)dx=√π,积分区间是(-∞,+∞)
综上∫e^(-x²)dx=√π,积分区间是(-∞,+∞)
这个积分很重要,在概率中正态分布的概率密度就跟它有关系,所以你最好要好好理解一下,希望对你有所帮助