ζ(s) = ∑{1 ≤ n} 1/n^s不是ζ-函数的完整定义,
级数∑{1 ≤ n} 1/n^s只在s的实部大于1的时候收敛.
完整的定义涉及复变函数中"解析延拓"的概念.
从结果来说,上述定义在Re(s) > 1上的函数,
能够唯一的延拓为整个复平面(除s = 1外)上的解析函数,
这才是完整的Riemann ζ-函数.
而ζ-函数的平凡零点(负偶数)和非平凡零点都是在Re(s) < 1这一区域中,因此不能用那个级数计算.
π(x) = Li(x)+O(x^(1/2)·In(x))中,π(x)表示小于x的素数个数,Li(x)是对数积分函数∫{2,x} 1/ln(t) dt.
O是Landau符号,具体来说f(x) = O(g(x))表示存在常数B,C,使|f(x)| ≤ C·|g(x)|对任意x > B成立.
总结起来,这个式子的意思就是:x充分大时,π(x)与Li(x)的误差不超过x^(1/2)·In(x)的某个倍数.
有一篇很好的介绍Riemann猜想的科普文章, ζ(s) = ∑{1 ≤ n} 1/n^s不是ζ-函数的完整定义,
级数∑{1 ≤ n} 1/n^s只在s的实部大于1的时候收敛.
完整的定义涉及复变函数中"解析延拓"的概念.
从结果来说,上述定义在Re(s) > 1上的函数,
能够唯一的延拓为整个复平面(除s = 1外)上的解析函数,
这才是完整的Riemann ζ-函数.
而ζ-函数的平凡零点(负偶数)和非平凡零点都是在Re(s) < 1这一区域中,因此不能用那个级数计算.
π(x) = Li(x)+O(x^(1/2)·In(x))中,π(x)表示小于x的素数个数,Li(x)是对数积分函数∫{2,x} 1/ln(t) dt.
O是Landau符号,具体来说f(x) = O(g(x))表示存在常数B,C,使|f(x)| ≤ C·|g(x)|对任意x > B成立.
总结起来,这个式子的意思就是:x充分大时,π(x)与Li(x)的误差不超过x^(1/2)·In(x)的某个倍数.
有一篇很好的介绍Riemann猜想的科普文章,