德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式 1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ．这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：在“平方公式”（a+b） 2 =a 2 +2ab+b 2 中，取b=1，得2a+1=（a+1） 2 -a 2 ．…（*）在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（2 2 -1 2 ）+（3 2 -2 2 ）+（4 2 -3 2 ）+…+[n 2 -（n-1） 2 ]+[（n+1）

2019-06-02

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德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式 1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：
在“平方公式”（a+b）² =a² +2ab+b² 中，
取b=1，得2a+1=（a+1）² -a² ．…（*）
在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（2² -1² ）+（3² -2² ）+（4² -3² ）+…+[n² -（n-1）² ]+[（n+1）² -n² ]=（n+1）² -1=n² +2n．
即 1+2+3+…+n=

n(n+1)

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．现在请你利用“立方公式”（a+b）³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 来推导1² +2² +3² +…+n² 的计算公式，要求写出推算过程．注：可以利用已推导的公式 1+2+3+…+n=

n(n+1)

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．

优质解答

在立方公式中，取b=1得（a+1）³ -a³ =3a² +3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
2³ -1=3×1² +3×1+1，3³ -2³ =3×2² +3×2+1，4³ -3³ =3×3² +3×3+1，…（n+1）³ -n³ =3×n² +3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）³ -1=3（1² +2² +3² +…+n² ）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴1² +2² +3² +…+n² =

(n+1 ) 3 -1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

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在立方公式中，取b=1得（a+1）³ -a³ =3a² +3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
2³ -1=3×1² +3×1+1，3³ -2³ =3×2² +3×2+1，4³ -3³ =3×3² +3×3+1，…（n+1）³ -n³ =3×n² +3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）³ -1=3（1² +2² +3² +…+n² ）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴1² +2² +3² +…+n² =

(n+1 ) 3 -1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

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