是啊,你做幂级数展开
(1+x)^n=a0*1+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n
ak=C(n,k),n取k
而
(1+√5)^2/2=[3+2根号5]/2=3/2*(1+2根号5/3)
(1-√5)^2/2=[3-2根号5]/2=3/2*(1-2根号5/3)
令x=2根号5/3
(((1+√5)^2/2)^n-((1-√5)^2/2)^n))/√5 ={ [3/2*(1+x)]^n - [3/2*(1-x)]^n }/√5
=(3/2)^n*[(1+x)^n-(1-x)^n]/√5
观察[(1+x)^n-(1-x)^n]
=a0*1+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...+an*x^n
-[a0*1+a1*(-x)+a2*(-x)^2+a3*(-x)^3+...+an*(-x)^n]
=a0*1+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...+an*x^n
-a0*1+a1*(x)-a2*(x)^2+a3*(x)^3+...-(-1)^n*an*(-x)^n
=2a1*x+2a3*x^3+2a5*x^5+...
=x*(2a1+2a3*x^2+2a5*x^4+...)
括号内都是x的偶数次方,即有理数q
所以(((1+√5)^2/2)^n-((1-√5)^2/2)^n))/√5=(3/2)^n*[(1+x)^n-(1-x)^n]/√5
=(3/2)^n*x*q/√5
=(3/2)^n*2根号5/3*q/√5
=(3/2)^(n-1)*q为有理数 是啊,你做幂级数展开
(1+x)^n=a0*1+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n
ak=C(n,k),n取k
而
(1+√5)^2/2=[3+2根号5]/2=3/2*(1+2根号5/3)
(1-√5)^2/2=[3-2根号5]/2=3/2*(1-2根号5/3)
令x=2根号5/3
(((1+√5)^2/2)^n-((1-√5)^2/2)^n))/√5 ={ [3/2*(1+x)]^n - [3/2*(1-x)]^n }/√5
=(3/2)^n*[(1+x)^n-(1-x)^n]/√5
观察[(1+x)^n-(1-x)^n]
=a0*1+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...+an*x^n
-[a0*1+a1*(-x)+a2*(-x)^2+a3*(-x)^3+...+an*(-x)^n]
=a0*1+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...+an*x^n
-a0*1+a1*(x)-a2*(x)^2+a3*(x)^3+...-(-1)^n*an*(-x)^n
=2a1*x+2a3*x^3+2a5*x^5+...
=x*(2a1+2a3*x^2+2a5*x^4+...)
括号内都是x的偶数次方,即有理数q
所以(((1+√5)^2/2)^n-((1-√5)^2/2)^n))/√5=(3/2)^n*[(1+x)^n-(1-x)^n]/√5
=(3/2)^n*x*q/√5
=(3/2)^n*2根号5/3*q/√5
=(3/2)^(n-1)*q为有理数