优质解答
直线与平面(一)•练习题
一、选择题
(1)空间三条直线,两两相交,则由它们可确定平面的个数为
[ ]
A．1 B．3
C．1或3 D．1或4
(2)异面直线a,b分别在两个平面α,β内,若α∩β=直线c,则c [ ]
A．与a,b均相交
B．至多与a,b之一相交
C．至少与a,b之一相交
D．与a,b均不相交
(3)给出下列四个命题
③若a‖b,a‖α,则b‖α
④若a‖α,b‖α,则a‖b
(a,b,l为直线,α为平面)
其中错误命题的个数为 [ ]
A．1 B．2
C．3 D．4
(4)给出下面三个命题
甲：相交两直线l,m都在α内,且都不在β内
乙：l,m中至少有一条与β相交
丙：α与β相交
当甲成立时 [ ]
A．乙是丙的充分而不必要条件
B．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充要条件
D．乙是丙的非充分也非必要条件
(5)已知直线a,b,c和平面α,β,若a⊥α则 [ ]
(6)两条异面直线在一个平面内的射影一定是 [ ]
A．两条相交直线
B．两条平行直线
C．一条直线和直线外一点
D．上述三种可能均有
(7)在一个锐角二面角的一个面内有一条直线a,则在另一个面内与a垂直的直线 [ ]
A．只有一条 B．有无穷多条
C．有一条或无穷多条 D．无法肯定
(8)在空间,下列命题成立的是 [ ]
A．过平面α外的两点,有且只有一个平面与平面α垂直
B．若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α
C．互相平行的两条直线在一个平面内的射影必为互相平行的两条直线
D．若点P到三角形的三边的距离相等,且P在该三角形所在平面内的射影O在三角形内,则O为三角形的内心
二、填空题
(9)线段AB=5cm,A,B到平面α的距离分别为1cm和1.5cm,则直线AB与平面α所成的角的大小是______．
(10)已知平面α‖平面β,若夹在α,β间的一条垂线段AB=4,一条斜线段CD=6,若AC=BD=3,AB,CD的中点分别为M,N,则MN=______．(其中A,C∈α；B,D∈β)
(11)正方体ABCD—A1B1C1D1中,若M,N分别为A1A和B1B的中点,设异面直线CM和D1N所成的角为θ,则cosθ的值为______．
(12)过空间一点P的三条射线PA,PB,PC两两的夹角都是60°,则射线PC与平面APB所成角的正切函数值为______．
三、解答题
(13)求证：空间两两相交且不共点的四条直线必共面．
(14)如图21—1所示,E,F,G,H,M,N分别为空间四边形的边AB,BC,CD,DA及对角线AC和BD的中点,若AB=BC=CD=AD,求证：
(Ⅰ)AC⊥BD；
(Ⅱ)面BMN⊥面EFGH．
(15)如图21—2所示,ABCD为菱形,且∠ABC=60°,PD⊥面ABCD,且PD=a,E为PB的中点．
(Ⅰ)求证面AEC⊥面ABCD；
(Ⅱ)求E到面PAD的距离；
(Ⅲ)求二面角B—AE—C的正切函数值．
答案与提示
一、
(1)C (2)C (3)D (4)C (5)C (6)D (7)B (8)D
提示
(3)四个命题均不正确．
①l可能与α相交；②l可能与α相交,但其交点不在a,b上；③b可能在α内；④a,b可能相交或异面．
(4)当乙成立时,α必与β相交；反之当丙成立时,l,m至少有一条与β相交,否则l//m与甲矛盾．
(7)在另一平面内与a在其内的射影垂直的直线也必与a垂直,故有无穷多条．
(8)(A)当过两点的直线⊥α时,则过该直线的所有平面都⊥α；
(B)当l为α的斜线时,在α内与l的射影垂直的直线也必垂直于l；
(C)可能为一条直线,两相交直线,两平行线或一直线及线外一点；
(D)正确．
三、(13)如图答21-1,已知a,b,c,d四直线两两相交,但不共点．设a∩b=A,则过a,b可确定平面α,不妨设c∩a=C,c∩
c,d两两相交而不共点,并不排斥a,b,c共点而与d不共点．但c,d中总有一条与a,b不共点)
(14)(Ⅰ) ∵AB=AD, BN=ND, ∴AN⊥BD
(Ⅱ)由(Ⅰ)BD⊥MN．又 EH//BD,∴BD⊥EH
同理MN⊥EF
∴MN⊥面EFGH
(15)(Ⅰ)如图答21-2,连AC,BD交于0,∵E为PA中点,O为AC中点,
∴EO//PC,又∵PC⊥面ABCD
∴面BED⊥面ABCD
(Ⅱ)∵EO//PC,∴EO//面PBC
∴E到面PBC的距离就是O到面PBC的距离．
又∵PC⊥面ABCD,∴面PBC⊥面ABCD
过O作OH⊥BC于H,则OH⊥面PBC
(Ⅲ)∵面BDE⊥面ABCD,AO⊥BD,∴AO⊥面BDE
过A作AF⊥BE于F,则OF⊥BE
则∠AFO为二面角A-BE-D的平面角
直线与平面(一)•练习题
一、选择题
(1)空间三条直线,两两相交,则由它们可确定平面的个数为
[ ]
A．1 B．3
C．1或3 D．1或4
(2)异面直线a,b分别在两个平面α,β内,若α∩β=直线c,则c [ ]
A．与a,b均相交
B．至多与a,b之一相交
C．至少与a,b之一相交
D．与a,b均不相交
(3)给出下列四个命题
③若a‖b,a‖α,则b‖α
④若a‖α,b‖α,则a‖b
(a,b,l为直线,α为平面)
其中错误命题的个数为 [ ]
A．1 B．2
C．3 D．4
(4)给出下面三个命题
甲：相交两直线l,m都在α内,且都不在β内
乙：l,m中至少有一条与β相交
丙：α与β相交
当甲成立时 [ ]
A．乙是丙的充分而不必要条件
B．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充要条件
D．乙是丙的非充分也非必要条件
(5)已知直线a,b,c和平面α,β,若a⊥α则 [ ]
(6)两条异面直线在一个平面内的射影一定是 [ ]
A．两条相交直线
B．两条平行直线
C．一条直线和直线外一点
D．上述三种可能均有
(7)在一个锐角二面角的一个面内有一条直线a,则在另一个面内与a垂直的直线 [ ]
A．只有一条 B．有无穷多条
C．有一条或无穷多条 D．无法肯定
(8)在空间,下列命题成立的是 [ ]
A．过平面α外的两点,有且只有一个平面与平面α垂直
B．若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α
C．互相平行的两条直线在一个平面内的射影必为互相平行的两条直线
D．若点P到三角形的三边的距离相等,且P在该三角形所在平面内的射影O在三角形内,则O为三角形的内心
二、填空题
(9)线段AB=5cm,A,B到平面α的距离分别为1cm和1.5cm,则直线AB与平面α所成的角的大小是______．
(10)已知平面α‖平面β,若夹在α,β间的一条垂线段AB=4,一条斜线段CD=6,若AC=BD=3,AB,CD的中点分别为M,N,则MN=______．(其中A,C∈α；B,D∈β)
(11)正方体ABCD—A1B1C1D1中,若M,N分别为A1A和B1B的中点,设异面直线CM和D1N所成的角为θ,则cosθ的值为______．
(12)过空间一点P的三条射线PA,PB,PC两两的夹角都是60°,则射线PC与平面APB所成角的正切函数值为______．
三、解答题
(13)求证：空间两两相交且不共点的四条直线必共面．
(14)如图21—1所示,E,F,G,H,M,N分别为空间四边形的边AB,BC,CD,DA及对角线AC和BD的中点,若AB=BC=CD=AD,求证：
(Ⅰ)AC⊥BD；
(Ⅱ)面BMN⊥面EFGH．
(15)如图21—2所示,ABCD为菱形,且∠ABC=60°,PD⊥面ABCD,且PD=a,E为PB的中点．
(Ⅰ)求证面AEC⊥面ABCD；
(Ⅱ)求E到面PAD的距离；
(Ⅲ)求二面角B—AE—C的正切函数值．
答案与提示
一、
(1)C (2)C (3)D (4)C (5)C (6)D (7)B (8)D
提示
(3)四个命题均不正确．
①l可能与α相交；②l可能与α相交,但其交点不在a,b上；③b可能在α内；④a,b可能相交或异面．
(4)当乙成立时,α必与β相交；反之当丙成立时,l,m至少有一条与β相交,否则l//m与甲矛盾．
(7)在另一平面内与a在其内的射影垂直的直线也必与a垂直,故有无穷多条．
(8)(A)当过两点的直线⊥α时,则过该直线的所有平面都⊥α；
(B)当l为α的斜线时,在α内与l的射影垂直的直线也必垂直于l；
(C)可能为一条直线,两相交直线,两平行线或一直线及线外一点；
(D)正确．
三、(13)如图答21-1,已知a,b,c,d四直线两两相交,但不共点．设a∩b=A,则过a,b可确定平面α,不妨设c∩a=C,c∩
c,d两两相交而不共点,并不排斥a,b,c共点而与d不共点．但c,d中总有一条与a,b不共点)
(14)(Ⅰ) ∵AB=AD, BN=ND, ∴AN⊥BD
(Ⅱ)由(Ⅰ)BD⊥MN．又 EH//BD,∴BD⊥EH
同理MN⊥EF
∴MN⊥面EFGH
(15)(Ⅰ)如图答21-2,连AC,BD交于0,∵E为PA中点,O为AC中点,
∴EO//PC,又∵PC⊥面ABCD
∴面BED⊥面ABCD
(Ⅱ)∵EO//PC,∴EO//面PBC
∴E到面PBC的距离就是O到面PBC的距离．
又∵PC⊥面ABCD,∴面PBC⊥面ABCD
过O作OH⊥BC于H,则OH⊥面PBC
(Ⅲ)∵面BDE⊥面ABCD,AO⊥BD,∴AO⊥面BDE
过A作AF⊥BE于F,则OF⊥BE
则∠AFO为二面角A-BE-D的平面角