设x∈（0，1），证明（1+x）ln2（1+x）＜x2． - 唯久问答

设x∈（0，1），证明（1+x）ln2（1+x）＜x2．

2019-05-28

设x∈（0，1），证明（1+x）ln²（1+x）＜x²．

优质解答

令g（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²，则g（0）=0．
因为当x∈（0，1）时，
g′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，g′（0）=0，
g″（x）=

2

1+x

[ln(1+x)−x]，g″（0）=0，
g″′（x）=−

2ln(1+x)

(1+x)2

＜0，
故g″（x）在（0，1）上严格单调减，则有g″（x）＜g″（0）=0；
g′（x）在（0，1）上严格单调减，则有g′（x）＜g′（0）=0；
g（x）在（0，1）上严格单调递减，则有g（x）＜g（0），
即：（1+x）ln²（1+x）＜x²．令g（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²，则g（0）=0．
因为当x∈（0，1）时，
g′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，g′（0）=0，
g″（x）=

2

1+x

[ln(1+x)−x]，g″（0）=0，
g″′（x）=−

2ln(1+x)

(1+x)2

＜0，
故g″（x）在（0，1）上严格单调减，则有g″（x）＜g″（0）=0；
g′（x）在（0，1）上严格单调减，则有g′（x）＜g′（0）=0；
g（x）在（0，1）上严格单调递减，则有g（x）＜g（0），
即：（1+x）ln²（1+x）＜x²．

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