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若实数m、n、p、q满足m+n=1 p+q=1 mp+nq>1 求证:m、n、p、q中至少有一个是负数.
2019-05-27
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若实数m、n、p、q满足m+n=1 p+q=1 mp+nq>1 求证:m、n、p、q中至少有一个是负数.
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证明:假设m、n、p、q全都不是负数 即m≥0 n≥0 p≥0 q≥0 则有mq+np≥0. ①又m+n=1 p+q=1 ∴(m+n)(p+q)=(mp+nq)+(mq+np)=1.又mp+nq>1 ∴mq+np<0.与①矛盾.∴假设不成立.则原结论m、n、p、q中至少有一个是负数成立.
证明:假设m、n、p、q全都不是负数 即m≥0 n≥0 p≥0 q≥0 则有mq+np≥0. ①又m+n=1 p+q=1 ∴(m+n)(p+q)=(mp+nq)+(mq+np)=1.又mp+nq>1 ∴mq+np<0.与①矛盾.∴假设不成立.则原结论m、n、p、q中至少有一个是负数成立.
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