用数学归纳法证明一个通项公式an=n这个题让猜想一个数列的通项公式并证明.其中3（a1方+a2方+...+an方）=（2n+1）（a1+a2+a3+...+an)
2019-04-14
用数学归纳法证明一个通项公式an=n
这个题让猜想一个数列的通项公式并证明.其中3（a1方+a2方+...+an方）=（2n+1）（a1+a2+a3+...+an
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优质解答
n=1时,3a1²=3a1,a1=0或1 0舍去
n=2是,3（a1²+a2²）=5（a1+a2）即3（1²+a2²）=5（1+a2）；3a2²-5a2-2=0则（a2-2）*（3a2+1）=0,a2=2
假设n=k时成立,即3（a1²+a2²+……ak²）=（2k+1）（a1+a2+a3+...+an)时ak=k成立
那么n=k+1时,3（1²+2²+……+k²+（ak+1）²）=(2(k+1)+1)(1+2+3……k+（ak+1）)
3*k(k+1)(2k+1)/6+3（ak+1）²=(2k+3)(1+k)k/2+(2k+3)*（ak+1）化简得
3（ak+1）²-(2k+3)（ak+1）-k(k+1)=0即（（ak+1）-（k+1））*（3（ak+1）+k）=0
所以ak+1=k+1
综上所述,an=n
n=1时,3a1²=3a1,a1=0或1 0舍去
n=2是,3（a1²+a2²）=5（a1+a2）即3（1²+a2²）=5（1+a2）；3a2²-5a2-2=0则（a2-2）*（3a2+1）=0,a2=2
假设n=k时成立,即3（a1²+a2²+……ak²）=（2k+1）（a1+a2+a3+...+an)时ak=k成立
那么n=k+1时,3（1²+2²+……+k²+（ak+1）²）=(2(k+1)+1)(1+2+3……k+（ak+1）)
3*k(k+1)(2k+1)/6+3（ak+1）²=(2k+3)(1+k)k/2+(2k+3)*（ak+1）化简得
3（ak+1）²-(2k+3)（ak+1）-k(k+1)=0即（（ak+1）-（k+1））*（3（ak+1）+k）=0
所以ak+1=k+1
综上所述,an=n