证明 单调递增函数的不连续点至多有可列个实变函数课上老师布置的,求大神指点
2019-05-23
证明 单调递增函数的不连续点至多有可列个
实变函数课上老师布置的,求大神指点
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设该函数不连续点集合为E,则对于E内的任意x,应该有f﹢(x)≠f-(x),而且f单调递增,故应有f+(x）>f-(x),由递增性可知对于任意x1,x2,区间（f-(x1),f+(x1)）、（f-(x2),f+(x2)）互不相交,由此构建一个区间族Eγ,Eγ的每一个元素都可以找到一个有理数与之一一相对,有理数可列,因而Eγ的元素可列,而Eγ的元素与E中元素一一对应,因此E元素可列,得证.（前提：假设该函数处处有限）
设该函数不连续点集合为E,则对于E内的任意x,应该有f﹢(x)≠f-(x),而且f单调递增,故应有f+(x）>f-(x),由递增性可知对于任意x1,x2,区间（f-(x1),f+(x1)）、（f-(x2),f+(x2)）互不相交,由此构建一个区间族Eγ,Eγ的每一个元素都可以找到一个有理数与之一一相对,有理数可列,因而Eγ的元素可列,而Eγ的元素与E中元素一一对应,因此E元素可列,得证.（前提：假设该函数处处有限）