高中数学必修五问题数列{an}满足a1=1,an=3an-1-4n+6（n≥2,n∈N*）．（1）设bn=an-2n,求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．解析是这样的：解：（1）∵bn=an-2n,即an=bn+2n∵an=3an-1-4n+6,∴bn+2n=3[bn-1+2（n-1）],即bn=3bn-1又b1=a1-2=-1≠0所以数列{bn}是以-1为首项,3为公比的等比数列．（2）由（1）知an-2n-3n-1,即an=2n-3n-1．所以 Sn=[（2+2n）/2]
2019-06-25
高中数学必修五问题
数列{an}满足a1=1,an=3an-1-4n+6（n≥2,n∈N*）．
（1）设bn=an-2n,求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
解析是这样的：
解：（1）∵bn=an-2n,即an=bn+2n
∵an=3an-1-4n+6,
∴bn+2n=3[bn-1+2（n-1）],
即bn=3bn-1
又b1=a1-2=-1≠0
所以数列{bn}是以-1为首项,3为公比的等比数列．
（2）由（1）知an-2n-3n-1,即an=2n-3n-1．
所以 Sn=[（2+2n）/2]×n-[(3^n)-1]/(3-1)=n(n+1)-[(3^n)-1]/2．
其中
bn+2n=3[bn-1+2（n-1）],还有
Sn=[（2+2n）/2]×n-[(3^n)-1]/(3-1)=n(n+1)-[(3^n)-1]/2．
这是怎么得到的?
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数列{a‹n›}满足a₁=1,a‹n›=3a‹n-1›-4n+6（n≥2,n∈N*）．
（1）设b‹n›=a‹n›-2n,求证：数列{b‹n›}是等比数列；
（2）求数列{a‹n›}的前n项和S‹n›．
b‹n›=a‹n›-2n=3a‹n-1›-4n+6-2n=3a‹n-1›-6n+6=3a‹n-1›-6(n-1)=3[a‹n-1›-2(n-1)]=3b‹n-1›
故b‹n›/b‹n-1›=3=常量,∴{b‹n›}是首项b₁=a₁-2=1-2=-1,公比q=3的等比数列：b‹n›=-3ⁿֿ¹；
a‹n›=b‹n›+2n,其前n项和：S‹n›=∑b‹n›+∑2n=-(3ⁿ-1)/2+(2+4+6+.+2n)
=(1-3ⁿ)/2+(2+2n)n/2=(1-3ⁿ)/2+n(n+1)
注：∑b‹n›是等比数列的前n项和；∑2n是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和.
数列{a‹n›}满足a₁=1,a‹n›=3a‹n-1›-4n+6（n≥2,n∈N*）．
（1）设b‹n›=a‹n›-2n,求证：数列{b‹n›}是等比数列；
（2）求数列{a‹n›}的前n项和S‹n›．
b‹n›=a‹n›-2n=3a‹n-1›-4n+6-2n=3a‹n-1›-6n+6=3a‹n-1›-6(n-1)=3[a‹n-1›-2(n-1)]=3b‹n-1›
故b‹n›/b‹n-1›=3=常量,∴{b‹n›}是首项b₁=a₁-2=1-2=-1,公比q=3的等比数列：b‹n›=-3ⁿֿ¹；
a‹n›=b‹n›+2n,其前n项和：S‹n›=∑b‹n›+∑2n=-(3ⁿ-1)/2+(2+4+6+.+2n)
=(1-3ⁿ)/2+(2+2n)n/2=(1-3ⁿ)/2+n(n+1)
注：∑b‹n›是等比数列的前n项和；∑2n是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和.