1、奇函数、偶函数的定义：
奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f (–x) = – f (x),
则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有g (– x) = g (x),
则这个函数叫做偶函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?
强调定义中“任意”二字,说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,它不同于函数的单调性 .
问题2：–x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：
（1）对于任意一个奇函数f (x),图象上的点P (x,f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么?
点P′是否也在函数f (x)的图象上?由此可得到怎样的结论.
（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?
2、奇函数与偶函数图象的对称性：
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
3、举例分析
例1 判断下列函数的奇偶性；
（1）f (x) = x + x3 +x5； （奇） （2）f (x) = x2 +1； （偶）
（3）f (x) = x + 1； （非奇非偶） （4）f (x) = x2,x∈[–1,3]； （非奇非偶）
（5）f (x) = 0.（既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数.前提是定义域关于原点对称）.
归纳：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = – f (x).
（2）对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
既不是奇函数也不是偶函数.
学生练习：
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x3； （奇） (2) f (x) = – x2；（偶） (3) h (x) = x3 +1； （非奇非偶）
(4) k (x) = ,x[–1,2]； （非奇非偶） (5) f (x) = (x + 1) (x – 1)；（偶）
(6) g (x) = x (x + 1)； （非奇非偶） (7) h (x) = x + ； （奇 ） (8) k (x) = .（偶）
2、判断下列论断是否正确：
（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；（错）
（2）如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称,（对）
（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数；（错）
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数.（对）
3、如果f (0) = a≠0,函数f (x)可以是奇函数吗?可以是偶函数吗?为什么?
（不能为奇函数但可以是偶函数）
4、如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数,试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数?是不是奇函数?为什么?（偶函数）
5、如图,给出了奇函数y = f (x)的局部图象,求f (– 4).
6、如图,给出了偶函数y = f (x)的局部图象,试比较f (1)与 f (3) 的大小.
例2 （1）设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,且f (x) + g (x 1、奇函数、偶函数的定义：
奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f (–x) = – f (x),
则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有g (– x) = g (x),
则这个函数叫做偶函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?
强调定义中“任意”二字,说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,它不同于函数的单调性 .
问题2：–x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：
（1）对于任意一个奇函数f (x),图象上的点P (x,f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么?
点P′是否也在函数f (x)的图象上?由此可得到怎样的结论.
（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?
2、奇函数与偶函数图象的对称性：
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
3、举例分析
例1 判断下列函数的奇偶性；
（1）f (x) = x + x3 +x5； （奇） （2）f (x) = x2 +1； （偶）
（3）f (x) = x + 1； （非奇非偶） （4）f (x) = x2,x∈[–1,3]； （非奇非偶）
（5）f (x) = 0.（既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数.前提是定义域关于原点对称）.
归纳：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = – f (x).
（2）对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
既不是奇函数也不是偶函数.
学生练习：
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x3； （奇） (2) f (x) = – x2；（偶） (3) h (x) = x3 +1； （非奇非偶）
(4) k (x) = ,x[–1,2]； （非奇非偶） (5) f (x) = (x + 1) (x – 1)；（偶）
(6) g (x) = x (x + 1)； （非奇非偶） (7) h (x) = x + ； （奇 ） (8) k (x) = .（偶）
2、判断下列论断是否正确：
（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；（错）
（2）如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称,（对）
（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数；（错）
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数.（对）
3、如果f (0) = a≠0,函数f (x)可以是奇函数吗?可以是偶函数吗?为什么?
（不能为奇函数但可以是偶函数）
4、如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数,试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数?是不是奇函数?为什么?（偶函数）
5、如图,给出了奇函数y = f (x)的局部图象,求f (– 4).
6、如图,给出了偶函数y = f (x)的局部图象,试比较f (1)与 f (3) 的大小.
例2 （1）设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,且f (x) + g (x