[实变函数]求证：R^2中至少有一个圆周不含有理点.
2019-05-23
[实变函数]求证：R^2中至少有一个圆周不含有理点.
优质解答
找一个这样的圆周就行了吧?
以原点为圆心,π为半径作圆,下面证明所有的有理点均不在此圆周上.
任取有理点(a,b),则a,b为有理数,
(a,b)与圆点的距离为：√(a²+b²)
若√(a²+b²)=π,则a²+b²=π²,左边是一个有理数,右边是一个无理数,矛盾,因此√(a²+b²)≠π
则(a,b)一定不在圆周上.
找一个这样的圆周就行了吧?
以原点为圆心,π为半径作圆,下面证明所有的有理点均不在此圆周上.
任取有理点(a,b),则a,b为有理数,
(a,b)与圆点的距离为：√(a²+b²)
若√(a²+b²)=π,则a²+b²=π²,左边是一个有理数,右边是一个无理数,矛盾,因此√(a²+b²)≠π
则(a,b)一定不在圆周上.