2道差不多的高中数学题比较A=1+1/根号2+1/根号3+到1/根号N与根号N（N属于正整数）的大小关系为多少 答案是A大于等于根号N 我用取特殊值法做的 但是我想知道怎么用变形计算做 帮忙有个告诉我 还有道差不多的 求证1+1/2的平方+1/3的平方+到1/N的平方小于2（N属于正整数）
2019-04-02
2道差不多的高中数学题
比较A=1+1/根号2+1/根号3+到1/根号N与根号N（N属于正整数）的大小关系为多少 答案是A大于等于根号N 我用取特殊值法做的 但是我想知道怎么用变形计算做 帮忙有个告诉我 还有道差不多的 求证1+1/2的平方+1/3的平方+到1/N的平方小于2（N属于正整数）
优质解答
证(√n)+[1/√(n+1)]>√(n+1).（n∈N).证明：n+(n^2)>n^2.===>√[n(n+1)]>n(两边开方）===>1+√[n(n+1)]>n+1.(两边加1）===>（√n)+[1/√(n+1)]>√(n+1).(两边同除以√（n+1)).(2),用数学归纳法证明.当n=1时,A1=1=√1.当n=2时,A2=1+(1/√2)=[2+(√2)]/2>[2√2]/2=√2.===>A2>√2.即当n=1,2时,An≥√n.假设当n=k时有Ak≥√k.===>Ak+[1/√(k+1)]≥(√k)+[1/√(K+1)]≥√(k+1).===>A(k+1)≥√(k+1).即当n=k+1时,命题仍成立.故当n∈N时,有A≥√n.(二）易知,当n≥2时有：11/(n^2)<1/[n(n-1)]=[1/(n-1)]-(1/n).===>1/(n^2)<[1/(n-1)]-(1/n).取n=2,3,4到n时,左边<1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+[1/(n-1)-1/n]=2-(1/n)<2.===>左边<2.
证(√n)+[1/√(n+1)]>√(n+1).（n∈N).证明：n+(n^2)>n^2.===>√[n(n+1)]>n(两边开方）===>1+√[n(n+1)]>n+1.(两边加1）===>（√n)+[1/√(n+1)]>√(n+1).(两边同除以√（n+1)).(2),用数学归纳法证明.当n=1时,A1=1=√1.当n=2时,A2=1+(1/√2)=[2+(√2)]/2>[2√2]/2=√2.===>A2>√2.即当n=1,2时,An≥√n.假设当n=k时有Ak≥√k.===>Ak+[1/√(k+1)]≥(√k)+[1/√(K+1)]≥√(k+1).===>A(k+1)≥√(k+1).即当n=k+1时,命题仍成立.故当n∈N时,有A≥√n.(二）易知,当n≥2时有：11/(n^2)<1/[n(n-1)]=[1/(n-1)]-(1/n).===>1/(n^2)<[1/(n-1)]-(1/n).取n=2,3,4到n时,左边<1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+[1/(n-1)-1/n]=2-(1/n)<2.===>左边<2.