自2017年2月底，90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章，怀化市某学校高三年级为了提高学生自主招生考试的通过率，对A、B、C、D四所国内知名大学2016年自主招生考试的语文和数学的控分做了如下调查：学校ABCD语文（x分）118120114112数学（y分）116123114119（Ⅰ）依据上表中的数据用最小二乘法求数学控分̂y关于语文控分x的线性回归方程̂y=̂bx+̂a及当某高校自主招生考试语文控分为110分时，预测该校的数学控分．（Ⅱ）依据调查表，怀化市的这所学校从A

2019-04-10

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自2017年2月底，90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章，怀化市某学校高三年级为了提高学生自主招生考试的通过率，对A、B、C、D四所国内知名大学2016年自主招生考试的语文和数学的控分做了如下调查：

学校	A	B	C	D
语文（x分）	118	120	114	112
数学（y分）	116	123	114	119

（Ⅰ）依据上表中的数据用最小二乘法求数学控分

̂

y

关于语文控分x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

及当某高校自主招生考试语文控分为110分时，预测该校的数学控分．
（Ⅱ）依据调查表，怀化市的这所学校从A、B、C、D四所大学任选两所，求选出的这两所学校的语文和数学控分都低于120分的概率．
（附：线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂

b

=

n

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)

n

i=1

(xi-

.

x

)2

̂

a

=

.

y

-

̂

b

×

.

x

）

优质解答

（Ⅰ）由已知

.

x

=

1

4

×（118+120+114+112）=116，

.

y

=

1

4

×（116+123+114+119）=118，
∴

∧

b

=

(118-116)(116-118)+(120-116)(123-118)+(114-116)(114-118)+(112-116)(119-118)

(118-116)2+(120-116)2+(114-116)2+(112-116)2

=

-4+20+8-4

4+16+4+16

=

1

2

，
∴

̂

a

=118-

1

2

×116=60，…（4分）
∴线性回归方程为

̂

y

=

1

2

x+60；
∴当x=110时，

̂

y

=

1

2

×110+60=115，
∴当语文控分为110分时，该校的数学控分为115；…（6分）
（Ⅱ）从A，B，C，D四所大学任选两所共有基本事件6个：
AB，AC，AD，BC，BD，CD；
其中满足两所大学的语文控分和数学控分都小于120分的有
AC，AD，CD共3个；…（10分）
故所求的概率为P=

3

6

=

1

2

．…（12分）（Ⅰ）由已知

.

x

=

1

4