一、极限的计算：
就是算出当x无限地趋向于某个值x.时,函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值?
在一般情况下,就是直接代入.
有些情况是无法直接代入的,这就是不定式的七种类型,譬如分子分母都趋向于0,
我们就不能分子分母都代入0.而是要找出它们的比例究竟越来越趋向于什么数,
这样的结果,我们就产生了各种各样的计算极限的方法.
二、极限理论的证明.
这部分不好理解,请楼主细细看看下面的解释,会忽然开通.
1、极限的最早萌芽概念,我们祖先也有过,但是被当成诡辩学而埋葬了.
时至今日,仍有绝大多数数学教师,一提到诡辩学,立马教条式地彻
底否认,没有思辨的任何理性空间.
2、鬼子的祖先,也有诡辩学,他们认认真真地研究了paradox,由此而
建立了极限理论.极限理论是桥梁,桥的这边是初等数学,桥的那边
是微积分,是高等数学.我们的理论贡献局限在桥这边,桥那边的理
论世界的建设,我们几乎完全是手无寸功,我们在科研上的落后就是
从这里开始的.
3、极限的理论究竟是什么呢?
第一,极限的证明理论
这就是我们的大学新生大学伊始时,兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重
的闷棍.极限的理论,其实是吵架的理论,是无止境争辩的过程,也是
无穷列举法的理论化过程.例如：
(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时,x² 就无限趋近于 4.
(2)、你不信,你要我证明给你看.
(3)、我说,那你随便给一个很小的数,你给了0.5.
(4)、我通过计算,我说只要 x = 2.10 就行.
(5)、你反悔了,改成了0.4.
(6)、我重新计算了一下,我说只要 x = 2.09 就行.
(7)、你又反悔,又改成了0.3.
(8)、我又重新计算,我说只要 x = 2.07 就行.
(9)、你再次反悔,再改成0.2.
(10)、我再次计算,我说只要 x = 2.04 就行.
、、、、你不断地反悔,不断地提出越来越苛刻的数据,我也不断地计算,
不断给出越来越接近于2的具体数,也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程
度、、、、、
结果我们都厌烦了.
(11)、我说,别闹了,你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧.
(12)、你给出了一个代号 ε.
(13)、我根据你的代号 ε,经过一番计算,找到了另外一个数字代号 δ.
我对你说,你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了.
算了,算了,我把计算公式也给你吧,你自己出 ε,自己去找 δ,
这样你还有什么话说?
争吵就这样结束了,无穷列出变成了一个理论计算过程,结果就得到了证明.
这个证明逻辑思路是：
只要你给得出一个无论多小的数,ε；
我就能根据你的 ε,算出一个 δ ；
只要将x 的取值,限制在 δ 的范围内,函数值与极限值之差就小于 ε.
由于 ε可以任意的小,两者之差可以无止境的小下去,就证明了极限.
δ 是根据 ε 算出的,我算出一个δ,你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围,
所以,ε是任给的,δ 是根据 ε 推算的,但 δ 不是唯一的,可以有无数个
更严格的、更小的值.所以说,总存在一个 δ,但是这个 δ,必须由我们
去根据 ε找出来.
第二、极限的计算
微积分的前面部分,就是寻找各种计算方法,最典型的是罗毕达法则.
第三、极限的运用
可以说极限是微积分的基础,也可以说,微积分是极限理论的运用.
如果你不能明白极限的理论证明方法,
那么,我们得恭喜你!你真正理解了我们传统的优秀数学史,到了近代数学时,
怎么突然落后了、落伍了.当代理论,我们没有参与建立,迄今为止,我们还
处于三流开外.
如果你明白了极限的理论证明方法,
那么,我们得祝贺你!你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛.体会
到了我们传统的、定性、模棱两可、之乎者也的学风,更现代数学、现代科学、
现代医学、、、、、之间的鸿沟是多么得深,多么得广,多么得不可同日而语.
三、极限的证明示例：
四、极限的计算方法总结
下面是本人平时的用法所做的总结,并配有例题.考研不会超出这个范围.
若看不清楚,请点击放大.
一、极限的计算：
就是算出当x无限地趋向于某个值x.时,函数 f(x) 越来越无止境地趋向于何值?
在一般情况下,就是直接代入.
有些情况是无法直接代入的,这就是不定式的七种类型,譬如分子分母都趋向于0,
我们就不能分子分母都代入0.而是要找出它们的比例究竟越来越趋向于什么数,
这样的结果,我们就产生了各种各样的计算极限的方法.
二、极限理论的证明.
这部分不好理解,请楼主细细看看下面的解释,会忽然开通.
1、极限的最早萌芽概念,我们祖先也有过,但是被当成诡辩学而埋葬了.
时至今日,仍有绝大多数数学教师,一提到诡辩学,立马教条式地彻
底否认,没有思辨的任何理性空间.
2、鬼子的祖先,也有诡辩学,他们认认真真地研究了paradox,由此而
建立了极限理论.极限理论是桥梁,桥的这边是初等数学,桥的那边
是微积分,是高等数学.我们的理论贡献局限在桥这边,桥那边的理
论世界的建设,我们几乎完全是手无寸功,我们在科研上的落后就是
从这里开始的.
3、极限的理论究竟是什么呢?
第一,极限的证明理论
这就是我们的大学新生大学伊始时,兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重
的闷棍.极限的理论,其实是吵架的理论,是无止境争辩的过程,也是
无穷列举法的理论化过程.例如：
(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时,x² 就无限趋近于 4.
(2)、你不信,你要我证明给你看.
(3)、我说,那你随便给一个很小的数,你给了0.5.
(4)、我通过计算,我说只要 x = 2.10 就行.
(5)、你反悔了,改成了0.4.
(6)、我重新计算了一下,我说只要 x = 2.09 就行.
(7)、你又反悔,又改成了0.3.
(8)、我又重新计算,我说只要 x = 2.07 就行.
(9)、你再次反悔,再改成0.2.
(10)、我再次计算,我说只要 x = 2.04 就行.
、、、、你不断地反悔,不断地提出越来越苛刻的数据,我也不断地计算,
不断给出越来越接近于2的具体数,也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程
度、、、、、
结果我们都厌烦了.
(11)、我说,别闹了,你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧.
(12)、你给出了一个代号 ε.
(13)、我根据你的代号 ε,经过一番计算,找到了另外一个数字代号 δ.
我对你说,你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了.
算了,算了,我把计算公式也给你吧,你自己出 ε,自己去找 δ,
这样你还有什么话说?
争吵就这样结束了,无穷列出变成了一个理论计算过程,结果就得到了证明.
这个证明逻辑思路是：
只要你给得出一个无论多小的数,ε；
我就能根据你的 ε,算出一个 δ ；
只要将x 的取值,限制在 δ 的范围内,函数值与极限值之差就小于 ε.
由于 ε可以任意的小,两者之差可以无止境的小下去,就证明了极限.
δ 是根据 ε 算出的,我算出一个δ,你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围,
所以,ε是任给的,δ 是根据 ε 推算的,但 δ 不是唯一的,可以有无数个
更严格的、更小的值.所以说,总存在一个 δ,但是这个 δ,必须由我们
去根据 ε找出来.
第二、极限的计算
微积分的前面部分,就是寻找各种计算方法,最典型的是罗毕达法则.
第三、极限的运用
可以说极限是微积分的基础,也可以说,微积分是极限理论的运用.
如果你不能明白极限的理论证明方法,
那么,我们得恭喜你!你真正理解了我们传统的优秀数学史,到了近代数学时,
怎么突然落后了、落伍了.当代理论,我们没有参与建立,迄今为止,我们还
处于三流开外.
如果你明白了极限的理论证明方法,
那么,我们得祝贺你!你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛.体会
到了我们传统的、定性、模棱两可、之乎者也的学风,更现代数学、现代科学、
现代医学、、、、、之间的鸿沟是多么得深,多么得广,多么得不可同日而语.
三、极限的证明示例：
四、极限的计算方法总结
下面是本人平时的用法所做的总结,并配有例题.考研不会超出这个范围.
若看不清楚,请点击放大.