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某外商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年需各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售蔬菜总收入为50万元．（I）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？（II）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案：（1）若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元的价格出售该厂；（2）若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂．问：哪一种方案比较合算？请说明理由．

2019-04-29

某外商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年需各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售蔬菜总收入为50万元．
（I）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？
（II）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案：
（1）若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元的价格出售该厂；
（2）若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂．
问：哪一种方案比较合算？请说明理由．
优质解答
由题设知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列
设纯利润与年数的关系为f（n），
则f（n）=50n-[12n+
n(n−1)
2
×4]-72=-2n2+40n-72
（I）获纯利润就是要求f（n）＞0，
∴-2n2+40n-72＞0
即n2-20n+36＜0，解得2＜n＜18，
又n∈N，可得n=3，4，5，…17，
∴从第3年开始获利．              …6/
（II）（1）年平均纯利润=
f(n)
n
=
−2n2+40n−72
n
=40-2（n+
36
n
），
∵n+
36
n
≥2
n•
36
n
=12，当且仅当n=6时，取“=”号，
∴
f(n)
n
≤40-2×12=16，
∴第（1）种方案共获利16×6+48=144（万元），此时n=6．…10/
（2）f（n）=-2（n-10）2+128，
当n=10时，f（n）max=128．
故第（2）种方案共获利128+16=144（万元）．           …12/
比较两种方案，获利都为144万元，但第（1）种方案需6年，而第（2）种方案需10年，
故选择第（1）种方案． 由题设知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列
设纯利润与年数的关系为f（n），
则f（n）=50n-[12n+
n(n−1)
2
×4]-72=-2n2+40n-72
（I）获纯利润就是要求f（n）＞0，
∴-2n2+40n-72＞0
即n2-20n+36＜0，解得2＜n＜18，
又n∈N，可得n=3，4，5，…17，
∴从第3年开始获利．              …6/
（II）（1）年平均纯利润=
f(n)
n
=
−2n2+40n−72
n
=40-2（n+
36
n
），
∵n+
36
n
≥2
n•
36
n
=12，当且仅当n=6时，取“=”号，
∴
f(n)
n
≤40-2×12=16，
∴第（1）种方案共获利16×6+48=144（万元），此时n=6．…10/
（2）f（n）=-2（n-10）2+128，
当n=10时，f（n）max=128．
故第（2）种方案共获利128+16=144（万元）．           …12/
比较两种方案，获利都为144万元，但第（1）种方案需6年，而第（2）种方案需10年，
故选择第（1）种方案．
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