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春秋战国时代,中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革,学术思想十分活跃．这一时期形成的诸子百家,对科学文化影响极大．数学园地更是生机盎然,朝气勃勃．
值得注意的是,人们在商代甲骨文和西周金文的基础上,逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上,用绳子穿成册,这就是早期的书．写上字的竹片称为简,或竹简．春秋战国的大批数学成果,便是通过竹简流传下来的．
几何与逻辑 《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试．《墨经》是以墨翟(约公元前490---前405)为首的墨家学派的著作,包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题．它试图把形式逻辑用于几何研究,这是该书的显著特色．在这一点上,它同欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)《几何原本》相似,一些几何定义也与《原本》中的定义等价．下面略举几例：
(1)“平,同高也”---两线间高相等,叫平．这实际是平行线的定义．
(2)“同长,以正相尽也”---如果两条线段重合,就叫同长．
(3)“中,同长也”---到线段两端的距离相同的点叫中(点)．
(4)“圆,一中同长也”---到一个中心距离相同的图形叫圆．
《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义,这些图形的名称分别为端、尺、区．在研究线的过程中,墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺,有穷；莫不容尺,无穷也．”即：用线段去量一个区域,若能达到距边缘不足一线的程度,叫有穷；若永远达不到这种程度,叫无穷．
《墨经》中还有一条重要记载：“小故,有之不必然,无之必不然．大故,有之必然．”用现代语言说,大故是“充分条件”而小故则是“必要条件．”大故和小故的区分,在哲学史和数学史上都是十分重要的事件．
可惜的是,随着墨家的衰落,墨家数学理论在形成体系之前便夭折了．
算术
到公元前四、五世纪时,分数已在中国广泛应用了,有些分数还有特殊名称,如叫半,叫少半,叫大半.位值制和整数四则运算已被熟练掌握,《考工记》中还有简单的分数运算,例如 （原书中用汉字表示）.
春秋战国时代,“九九歌”已是家喻户晓的常识了．《管子》等书中便记载着九九歌诀,顺序与今不同,是从“九九八十一”起,到“一一如一”止．至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序,则是宋元时代的事情了．
对数学中“无限”的认识
有限与无限的矛盾,是数学中的一对基本矛盾．对这一问题认识的不断深化,推动着古今数学的发展．
据战国时成书的《庄子》记载,惠施曾提出“至大无外,谓之大一；至小无内,谓之小一”的观点．其中“大一”、“小一”可理解为无穷大,无穷小．这段话的意思是：大到没有外部,称为无穷大；小到没有内部,称为无穷小．书中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的著名命题,可以看作是对“小一”的发挥．一尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取剩下那一半的一半,如此不断地取下去,永远也取不完.即第一天取,第二天取,第n天取,不管n多大,总不为0,其中体现了物质无限可分的思想.
同《庄子》一样,《墨经》中也讨论了分割物体的问题．但墨家反对物质的无限可分．他们认为,如果把一条线段分成前后两半(比如以左为前,以右为后),保留前半而弃去后半(图4．4中OB),再弃去前半的后半(即CO),如此不断地分割和取舍,剩余部分小到不能再分为两半,就是端(A点)．如果采用前后取的办法,即第一次取线段前半,第二次取前半的后半,第三次取后半的前半,……取到最后,也会出现一个不可分割的端,这个端在线段中间而不在边缘(位于CO之间),这就是《墨经》所云“前则中无为半,犹端也；前后取,则端中也”．很明显,这种思想与近代极限理论是相符的．数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似．所以,我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型,其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想．
组合数学的萌芽
组合数学虽是现代数学的分支,它的思想却可以追溯到遥远的古代．春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽．
《易经》是中国最古老的书籍之一,书中通过阴阳卦爻预言吉凶．“--”是阳爻,“--”是阴爻,合称“两仪”．每次取两个,按不同顺序排列,生成“四象”；每次取三个,生成八卦(图4．5)；每次取六个,则生成六十四卦．四象、人卦与六十四卦的排列,相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个,共有nr种排列法．例如,在两种卦爻中每次取3个,共有23＝8种排列,这就是八卦．
德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz,1646---1716)发明二进制后不久,见到了传教士白晋(J．Bouvet,1656---1730)从中国寄去的八卦．莱布尼茨认为,八卦中蕴含着二进制思想,因此惊叹不已．实际上,若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替,八卦就可表示为
000(坤)001(震)010(坎)011(兑)
100(艮)101(离)110(巽)111(乾)
莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”,这项发明“对于中国人民实在是值得庆幸的事情”,并因此产生对中国古代文明的崇敬,热烈地希望到中国来．由于种种原因,他未能如愿,便托人把自己亲手制造的手摇计算机送往中国,成为中、德关系史上的一段佳话．
早期的数学工具---算筹与规、矩
算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹),它是中国人创造的计算工具．春秋战国时代,算筹的使用已相当普遍,书中多有记载,如“孟子持筹而算之”(《十发》),“善计者不用筹策”(《老子》),等等．1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒,内装竹棍40根,长短一致,约12厘米,是为算筹之实物．
(图中第一行为纵式,第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间,从右到左：个位为纵,十位为横,百位为纵,千位为横……,遇零则空位．例如2561摆成,308摆成．筹算加减法与今珠算类似,从左到右逐位相加或相减即可．筹算乘除法的步骤稍微复杂一些．二数相乘(如48×36)时,先用筹摆一数于上,一数于下,并使下数的末位和上数首位对齐(图4．6(1)),按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位,把乘得的积摆在上下二数中间(图4．6(2)),然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图4·6(3)),再以上数第二位乘下数各位,加入中间的乘积,并去掉上数第二位(图4．6(4))．直到上数各位用完,中间的数便是结果．筹算除法也分三层,上层是商；中层是被除数,叫实；下层是除数,叫法．
算筹在中国数学史上占有非常重要的地位,在长达两千年的时间里,算筹一直是中国的主要计算工具,直到元明时代才逐渐被珠算所代替．
筹算的优点是简便、灵活,用一些小竹木棍便可进行复杂的计算．它的缺点是中间步骤不能保留,因此不便于检验．另外,过分依赖于算具,也不利于数学的符号化和抽象化．（来源：数苑）
规、矩是两种测绘工具．规即圆规,矩是直角拐尺,用来画直线形．商代甲骨文中已有规和矩的象形字,所以它们最迟在商代已经出现．春秋战国时期,这两种工具被普遍用于测量和几何作图．（参考自其他网站）
春秋战国时代,中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革,学术思想十分活跃．这一时期形成的诸子百家,对科学文化影响极大．数学园地更是生机盎然,朝气勃勃．
值得注意的是,人们在商代甲骨文和西周金文的基础上,逐渐懂得把字写在竹片(或木片)上,用绳子穿成册,这就是早期的书．写上字的竹片称为简,或竹简．春秋战国的大批数学成果,便是通过竹简流传下来的．
几何与逻辑 《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试．《墨经》是以墨翟(约公元前490---前405)为首的墨家学派的著作,包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题．它试图把形式逻辑用于几何研究,这是该书的显著特色．在这一点上,它同欧几里得(Euclid,约公元前330—前275)《几何原本》相似,一些几何定义也与《原本》中的定义等价．下面略举几例：
(1)“平,同高也”---两线间高相等,叫平．这实际是平行线的定义．
(2)“同长,以正相尽也”---如果两条线段重合,就叫同长．
(3)“中,同长也”---到线段两端的距离相同的点叫中(点)．
(4)“圆,一中同长也”---到一个中心距离相同的图形叫圆．
《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义,这些图形的名称分别为端、尺、区．在研究线的过程中,墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺,有穷；莫不容尺,无穷也．”即：用线段去量一个区域,若能达到距边缘不足一线的程度,叫有穷；若永远达不到这种程度,叫无穷．
《墨经》中还有一条重要记载：“小故,有之不必然,无之必不然．大故,有之必然．”用现代语言说,大故是“充分条件”而小故则是“必要条件．”大故和小故的区分,在哲学史和数学史上都是十分重要的事件．
可惜的是,随着墨家的衰落,墨家数学理论在形成体系之前便夭折了．
算术
到公元前四、五世纪时,分数已在中国广泛应用了,有些分数还有特殊名称,如叫半,叫少半,叫大半.位值制和整数四则运算已被熟练掌握,《考工记》中还有简单的分数运算,例如 （原书中用汉字表示）.
春秋战国时代,“九九歌”已是家喻户晓的常识了．《管子》等书中便记载着九九歌诀,顺序与今不同,是从“九九八十一”起,到“一一如一”止．至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序,则是宋元时代的事情了．
对数学中“无限”的认识
有限与无限的矛盾,是数学中的一对基本矛盾．对这一问题认识的不断深化,推动着古今数学的发展．
据战国时成书的《庄子》记载,惠施曾提出“至大无外,谓之大一；至小无内,谓之小一”的观点．其中“大一”、“小一”可理解为无穷大,无穷小．这段话的意思是：大到没有外部,称为无穷大；小到没有内部,称为无穷小．书中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的著名命题,可以看作是对“小一”的发挥．一尺长的木棒,第一天取它的一半,第二天取剩下那一半的一半,如此不断地取下去,永远也取不完.即第一天取,第二天取,第n天取,不管n多大,总不为0,其中体现了物质无限可分的思想.
同《庄子》一样,《墨经》中也讨论了分割物体的问题．但墨家反对物质的无限可分．他们认为,如果把一条线段分成前后两半(比如以左为前,以右为后),保留前半而弃去后半(图4．4中OB),再弃去前半的后半(即CO),如此不断地分割和取舍,剩余部分小到不能再分为两半,就是端(A点)．如果采用前后取的办法,即第一次取线段前半,第二次取前半的后半,第三次取后半的前半,……取到最后,也会出现一个不可分割的端,这个端在线段中间而不在边缘(位于CO之间),这就是《墨经》所云“前则中无为半,犹端也；前后取,则端中也”．很明显,这种思想与近代极限理论是相符的．数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似．所以,我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型,其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想．
组合数学的萌芽
组合数学虽是现代数学的分支,它的思想却可以追溯到遥远的古代．春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽．
《易经》是中国最古老的书籍之一,书中通过阴阳卦爻预言吉凶．“--”是阳爻,“--”是阴爻,合称“两仪”．每次取两个,按不同顺序排列,生成“四象”；每次取三个,生成八卦(图4．5)；每次取六个,则生成六十四卦．四象、人卦与六十四卦的排列,相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个,共有nr种排列法．例如,在两种卦爻中每次取3个,共有23＝8种排列,这就是八卦．
德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz,1646---1716)发明二进制后不久,见到了传教士白晋(J．Bouvet,1656---1730)从中国寄去的八卦．莱布尼茨认为,八卦中蕴含着二进制思想,因此惊叹不已．实际上,若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替,八卦就可表示为
000(坤)001(震)010(坎)011(兑)
100(艮)101(离)110(巽)111(乾)
莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”,这项发明“对于中国人民实在是值得庆幸的事情”,并因此产生对中国古代文明的崇敬,热烈地希望到中国来．由于种种原因,他未能如愿,便托人把自己亲手制造的手摇计算机送往中国,成为中、德关系史上的一段佳话．
早期的数学工具---算筹与规、矩
算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨质或金属材料的算筹),它是中国人创造的计算工具．春秋战国时代,算筹的使用已相当普遍,书中多有记载,如“孟子持筹而算之”(《十发》),“善计者不用筹策”(《老子》),等等．1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒,内装竹棍40根,长短一致,约12厘米,是为算筹之实物．
(图中第一行为纵式,第二行为横式)算筹的摆法是纵横相间,从右到左：个位为纵,十位为横,百位为纵,千位为横……,遇零则空位．例如2561摆成,308摆成．筹算加减法与今珠算类似,从左到右逐位相加或相减即可．筹算乘除法的步骤稍微复杂一些．二数相乘(如48×36)时,先用筹摆一数于上,一数于下,并使下数的末位和上数首位对齐(图4．6(1)),按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位,把乘得的积摆在上下二数中间(图4．6(2)),然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位(图4·6(3)),再以上数第二位乘下数各位,加入中间的乘积,并去掉上数第二位(图4．6(4))．直到上数各位用完,中间的数便是结果．筹算除法也分三层,上层是商；中层是被除数,叫实；下层是除数,叫法．
算筹在中国数学史上占有非常重要的地位,在长达两千年的时间里,算筹一直是中国的主要计算工具,直到元明时代才逐渐被珠算所代替．
筹算的优点是简便、灵活,用一些小竹木棍便可进行复杂的计算．它的缺点是中间步骤不能保留,因此不便于检验．另外,过分依赖于算具,也不利于数学的符号化和抽象化．（来源：数苑）
规、矩是两种测绘工具．规即圆规,矩是直角拐尺,用来画直线形．商代甲骨文中已有规和矩的象形字,所以它们最迟在商代已经出现．春秋战国时期,这两种工具被普遍用于测量和几何作图．（参考自其他网站）