（2011•南充一模）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，先抽一张卡片将标号记为x再放回抽出的卡片，又从盒子中抽一张卡片将标号记为y，记随机变量ξ=|x-2|+|y-x|．①求ξ的最大值，并求出事件“ξ取得最大值”的概率；②求随机变量ξ的分布列和数学期望．

2019-05-29

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（2011•南充一模）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，先抽一张卡片将标号记为x再放回抽出的卡片，又从盒子中抽一张卡片将标号记为y，记随机变量ξ=|x-2|+|y-x|．
①求ξ的最大值，并求出事件“ξ取得最大值”的概率；
②求随机变量ξ的分布列和数学期望．

优质解答

（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤3，且当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=3．
因此，随机变量ξ的最大值为3．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=3）=

2

9

即随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为

2

9

；
（Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，3．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况．
∴P(ξ＝0)＝

1

9

，P(ξ＝1)＝

4

9

，P(ξ＝2)＝

2

9

，P(ξ＝3)＝

2

9

．
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

P

1

9

4

9

2

9

2

9

∴数学期望Eξ＝0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

＝

14

9

．（Ⅰ）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤3，且当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=3．
因此，随机变量ξ的最大值为3．
∵有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=3）=

2

9