初中数学难题（不信你做的出!）已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交ST于点C.求证：1/PC=1/2（PA+PB）（2001年全国TI杯B卷14题） 不过改了一下 （1）若PA=2,BC=1,求AC的长（1997年全国高中理科班试题） （2）若⊙O的半径为r,PO=d(d>r)求1/PA+1/PB的最大值；PA+PB的最大值.主要是（1）题 要图去看2001年全国TI杯B卷14题的图.这是我的作业,我们书上没图.[（根号下17） 减去3]除以
2019-05-07
初中数学难题（不信你做的出!）
已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交ST于点C.
求证：1/PC=1/2（PA+PB）（2001年全国TI杯B卷14题）
不过改了一下
（1）若PA=2,BC=1,求AC的长（1997年全国高中理科班试题）
（2）若⊙O的半径为r,PO=d(d>r)求1/PA+1/PB的最大值；PA+PB的最大值.
主要是（1）题
要图去看2001年全国TI杯B卷14题的图.
这是我的作业,我们书上没图.
[（根号下17） 减去3]除以2
优质解答
1.首先知道,证明了1/PC=1/2（1/PA+1/PB）就可令AC=x,得到PB=3+x,PC=2+x代入解得x=[根号17-3]/2
2.现在来证明1/PC=1/2（1/PA+1/PB）：
设PO与ST交于D,做OH垂直于PB交点为H.1/PA+1/PB=(PA+PB)/(PA*PB),显然有PA*PB=PS^2(PS的平方),PA+PB=2*PH,所以原命题化为证明
1/PC=PH/PS^2 或PC*PH=PS^2 (1)
注意到三角形PSD和POS相似,得到：PS^2=PD*PO (2)
由(1)(2)知只要证明
PC*PH=PD*PO
再注意到三角形PCD和POH相似马上推得上式,证毕!
你基础应该不错,看这个没问题吧.下次有什么难题发消息给我,没有我搞不定的题.
1.首先知道,证明了1/PC=1/2（1/PA+1/PB）就可令AC=x,得到PB=3+x,PC=2+x代入解得x=[根号17-3]/2
2.现在来证明1/PC=1/2（1/PA+1/PB）：
设PO与ST交于D,做OH垂直于PB交点为H.1/PA+1/PB=(PA+PB)/(PA*PB),显然有PA*PB=PS^2(PS的平方),PA+PB=2*PH,所以原命题化为证明
1/PC=PH/PS^2 或PC*PH=PS^2 (1)
注意到三角形PSD和POS相似,得到：PS^2=PD*PO (2)
由(1)(2)知只要证明
PC*PH=PD*PO
再注意到三角形PCD和POH相似马上推得上式,证毕!
你基础应该不错,看这个没问题吧.下次有什么难题发消息给我,没有我搞不定的题.