高二数学归纳法证明题用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式（1+1/3）(1+1/5)……（1+1/(2n-1)）>（√（2n+1））/2网上搜过一个,觉得有问题,所以别搬抄
2019-05-29
高二数学归纳法证明题
用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式（1+1/3）(1+1/5)……（1+1/(2n-1)）>（√（2n+1））/2
网上搜过一个,觉得有问题,所以别搬抄
优质解答
1. n=1 左边=1+1=2>右边
2. 假设n=k成立 即
（1+1/3）(1+1/5)……（1+1/(2k-1)）>（√（2k+1））/2
当n=+1k时
（1+1/3）(1+1/5)……（1+1/(2k-1)）(1+1/(2k+1))
>[（√（2k+1））/2](1+1/(2k+1))
下面只需证明
[（√（2k+1））/2](1+1/(2k+1))>（√（2k+3））/2
即（√（2k+1））(1+1/(2k+1))>（√（2k+3））
只需证明 [√(2k+1)]*(2k+2)>[√(2k+3)]*(2k+1) 两边同时平方
(2k+1)*(2k+2)^2>(2k+3)*(2k+1)^2
(2k+2)^2>(2k+3)*(2k+1)
4k^2+8k+4>4k^2+8k+3
显然成立
所以原不等式成立
1. n=1 左边=1+1=2>右边
2. 假设n=k成立 即
（1+1/3）(1+1/5)……（1+1/(2k-1)）>（√（2k+1））/2
当n=+1k时
（1+1/3）(1+1/5)……（1+1/(2k-1)）(1+1/(2k+1))
>[（√（2k+1））/2](1+1/(2k+1))
下面只需证明
[（√（2k+1））/2](1+1/(2k+1))>（√（2k+3））/2
即（√（2k+1））(1+1/(2k+1))>（√（2k+3））
只需证明 [√(2k+1)]*(2k+2)>[√(2k+3)]*(2k+1) 两边同时平方
(2k+1)*(2k+2)^2>(2k+3)*(2k+1)^2
(2k+2)^2>(2k+3)*(2k+1)
4k^2+8k+4>4k^2+8k+3
显然成立
所以原不等式成立