数学
某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：（1）该考生得分为40分的概率；（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

2020-05-31

某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．
优质解答
（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为
1
2
，有一道题答对的概率为
1
3
，还有一道题答对的概率为
1
4
，所以，得40分的概率为  P=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48
．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为 P(ξ=20)=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8
；
同样可求得得分为25分的概率为 P(ξ=25)=
C 12
×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48
；
得分为30分的概率为 P(ξ=30)=
17
48
；
得分为35分的概率为 P(ξ=35)=
7
48
；
得分为40分的概率为 P(ξ=40)=
1
48
．
于是ξ的分布列为：
ξ 20 25 30 35 40
P
6
48
17
48
17
48
7
48
1
48
故 Eξ=20×
6
48
+25×
17
48
+30×
17
48
+35×
7
48
+40×
1
48
=
335
12
．
该考生所得分数的数学期望为
335
12
．
（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为
1
2
，有一道题答对的概率为
1
3
，还有一道题答对的概率为
1
4
，所以，得40分的概率为  P=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48
．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为 P(ξ=20)=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8
；
同样可求得得分为25分的概率为 P(ξ=25)=
C 12
×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48
；
得分为30分的概率为 P(ξ=30)=
17
48
；
得分为35分的概率为 P(ξ=35)=
7
48
；
得分为40分的概率为 P(ξ=40)=
1
48
．
于是ξ的分布列为：
ξ 20 25 30 35 40
P
6
48
17
48
17
48
7
48
1
48
故 Eξ=20×
6
48
+25×
17
48
+30×
17
48
+35×
7
48
+40×
1
48
=
335
12
．
该考生所得分数的数学期望为
335
12
．
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