证明：
在三角形AO1O2中使用余弦定理,
(O1O2)^2
=(AO1)^2+(AO2)^2-2(AO1*AO2)cos(A+90°)
=1/2AB^2+1/2AC^2+2(AB/√2)*(AC/√2)sinA
=1/2AB^2+1/2AC^2+(AB*AC*BC)/(2R) (R是三角形ABC的外接圆半径）
在三角形ABO3中使用余弦定理,
(AO3)^2
=AB^2+(BO3)^2-2(AB*BO3)cos(B+45°)
=AB^2+1/2BC^2-2AB*(BC/√2)(√2/2cosB-√2/2sinB)
=AB^2+1/2BC^2-2AB*(BC/√2)[√2/2*(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*BC)-√2/2*AC/2R)
=1/2AB^2+1/2AC^2+(AB*AC*BC)/(2R)
所以(O1O2)^2=(AO3)^2
AO3=O1O2
在四边形AO1O3O2中,
(AO1)^2=1/2AB^2,
(AO2)^2=1/2AC^2,
(O1O3)^2=1/2[AB^2+AC^2+(AB*AC*BC/R)]
在三角形CO2O3中使用余弦定理,
(O2O3)^2
=(CO2)^2+(CO3)^2-2(CO2)*(CO3)cos(C+90°)
=1/2[CB^2+AC^2+(AC*BC*AB/R)]
易验证
(AO1)^2+(O2O3)^2=(AO2)^2+(O1O3)^2
所以四边形AO1O3O2中,
对角线AO3⊥O1O2 证明：
在三角形AO1O2中使用余弦定理,
(O1O2)^2
=(AO1)^2+(AO2)^2-2(AO1*AO2)cos(A+90°)
=1/2AB^2+1/2AC^2+2(AB/√2)*(AC/√2)sinA
=1/2AB^2+1/2AC^2+(AB*AC*BC)/(2R) (R是三角形ABC的外接圆半径）
在三角形ABO3中使用余弦定理,
(AO3)^2
=AB^2+(BO3)^2-2(AB*BO3)cos(B+45°)
=AB^2+1/2BC^2-2AB*(BC/√2)(√2/2cosB-√2/2sinB)
=AB^2+1/2BC^2-2AB*(BC/√2)[√2/2*(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB*BC)-√2/2*AC/2R)
=1/2AB^2+1/2AC^2+(AB*AC*BC)/(2R)
所以(O1O2)^2=(AO3)^2
AO3=O1O2
在四边形AO1O3O2中,
(AO1)^2=1/2AB^2,
(AO2)^2=1/2AC^2,
(O1O3)^2=1/2[AB^2+AC^2+(AB*AC*BC/R)]
在三角形CO2O3中使用余弦定理,
(O2O3)^2
=(CO2)^2+(CO3)^2-2(CO2)*(CO3)cos(C+90°)
=1/2[CB^2+AC^2+(AC*BC*AB/R)]
易验证
(AO1)^2+(O2O3)^2=(AO2)^2+(O1O3)^2
所以四边形AO1O3O2中,
对角线AO3⊥O1O2