精选问答
设a＞0，f(x)＝axa+x令a1＝1，an+1＝f(an)，n∈N*．（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论．

2019-04-14

设a＞0，f(x)＝
ax
a+x
令a1＝1，an+1＝f(an)，n∈N*．
（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
优质解答
（1）∵a1=1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝
a
1+a
，a3＝f(a2)＝
a
2+a
，a4＝f(a3)＝
a
3+a
，
猜想an＝
a
(n−1)+a
，(n∈N+)…（4分）
（2）证明：①n=1时，猜想正确．              …（5分）
②假设n=k时猜想正确，即ak＝
a
(k−1)+a
，…（6分）
则ak+1＝f(ak)＝
a•ak
a+ak
＝
a•
a
(k−1)+a
a+
a
(k−1)+a
＝
a
(k−1)+a+1
＝
a
[(k+1)−1]+a

这说明，n=k+1时猜想正确．                        …（11分）
由①②知，an＝
a
(n−1)+a
，(n∈N+)…（12分） （1）∵a1=1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝
a
1+a
，a3＝f(a2)＝
a
2+a
，a4＝f(a3)＝
a
3+a
，
猜想an＝
a
(n−1)+a
，(n∈N+)…（4分）
（2）证明：①n=1时，猜想正确．              …（5分）
②假设n=k时猜想正确，即ak＝
a
(k−1)+a
，…（6分）
则ak+1＝f(ak)＝
a•ak
a+ak
＝
a•
a
(k−1)+a
a+
a
(k−1)+a
＝
a
(k−1)+a+1
＝
a
[(k+1)−1]+a

这说明，n=k+1时猜想正确．                        …（11分）
由①②知，an＝
a
(n−1)+a
，(n∈N+)…（12分）
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