数学
在以下命题中，不正确的个数为（　　）①|a|-|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA-2OB-OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间的另一个基底；⑤|（a•b）•c|=|a|•|b|•|c|．A．2B．3C．4D．5

2019-04-13

在以下命题中，不正确的个数为（　　）
①|
a
|-|
b
|=|
a
+
b
|是
a
，
b
共线的充要条件；
②若
a
∥
b
，则存在唯一的实数λ，使
a
=λ
b
；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若
OP
=2
OA
-2
OB
-
OC
，则P，A，B，C四点共面；
④若{
a
，
b
，
c
}为空间的一个基底，则{
a
+
b
，
b
+
c
，
c
+
a
}构成空间的另一个基底；
⑤|（
a
•
b
）•
c
|=|
a
|•|
b
|•|
c
|．

A．2
B．3
C．4
D．5
优质解答
对①，∵向量
a
、
b
同向时，|
a
|-|
b
|≠|
a
+
b
|，∴只满足充分性，不满足必要性，∴①错误；
对②，当
a
为零向量时，λ不唯一，∴②错误；
对③，∵2-2-1=-1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故③错误；
对④，用反证法，若{
a
+
b
，
b
+
c
，
c
+
a
}不构成空间的一个基底；
设
a
+
b
=x(
b
+
c
)+(1-x)(
c
+
a
)⇒x
a
=（x-1）
b
+
c
⇒
c
=x
a
+（1-x）
b
，即
a
，
b
，
c
共面，∵{
a
，
b
，
c
}为空间的一个基底，∴④正确；
对⑤，∵|（
a
•
b
）•
c
|=|
a
|×|
b
|×|cos＜
a
，
b
＞|×|
c
|≤|
a
||
b
||
c
|，∴⑤错误．
故选B 对①，∵向量
a
、
b
同向时，|
a
|-|
b
|≠|
a
+
b
|，∴只满足充分性，不满足必要性，∴①错误；
对②，当
a
为零向量时，λ不唯一，∴②错误；
对③，∵2-2-1=-1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故③错误；
对④，用反证法，若{
a
+
b
，
b
+
c
，
c
+
a
}不构成空间的一个基底；
设
a
+
b
=x(
b
+
c
)+(1-x)(
c
+
a
)⇒x
a
=（x-1）
b
+
c
⇒
c
=x
a
+（1-x）
b
，即
a
，
b
，
c
共面，∵{
a
，
b
，
c
}为空间的一个基底，∴④正确；
对⑤，∵|（
a
•
b
）•
c
|=|
a
|×|
b
|×|cos＜
a
，
b
＞|×|
c
|≤|
a
||
b
||
c
|，∴⑤错误．
故选B
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