精选问答
某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数    学 1.3 12.3 25.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0 34.3 物    理 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0

2019-04-19

某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数    学 1.3 12.3 25.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0 34.3
物    理 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0 39.0 60.7 63.3 42.7
学生序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数    学 78.3 50.0 65.7 66.3 68.0 95.0 90.7 87.7 103.7 86.7
物    理 49.7 46.7 83.3 59.7 50.0 101.3 76.7 86.0 99.7 99.0
学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）
优质解答
（1）根据条件ξ的取值为2，3，4，
而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有
P（ξ=2）=
C
2
14
C
2
20
=
91
190
，
P（ξ=3）=
C
1
6
C
1
14
C
2
20
=
84
190
，
P（ξ=4）=
C
2
6
C
2
20
=
15
190
．
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
91
190
84
190
15
190
（6分）
数学期望Eξ=2×
91
190
+3×
84
190
+4×
15
190
=2.6．（8分）
（2）根据条件列出列联表如下：
物理优秀 物理不优秀 合计
数学优秀 4 2 6
数学不优秀 2 12 14
合计 6 14 20
所以K2＝
20×(4×12−2×2)2
(4+2)×(2+12)×(4+2)×(2+12)
≈5.4875＞5.024．
又P（K2≥5.024）=0.025，
因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，
可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．（12分） （1）根据条件ξ的取值为2，3，4，
而且在20人中，数学成绩优秀的6人，不优秀的14人，所以有
P（ξ=2）=
C
2
14
C
2
20
=
91
190
，
P（ξ=3）=
C
1
6
C
1
14
C
2
20
=
84
190
，
P（ξ=4）=
C
2
6
C
2
20
=
15
190
．
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
91
190
84
190
15
190
（6分）
数学期望Eξ=2×
91
190
+3×
84
190
+4×
15
190
=2.6．（8分）
（2）根据条件列出列联表如下：
物理优秀 物理不优秀 合计
数学优秀 4 2 6
数学不优秀 2 12 14
合计 6 14 20
所以K2＝
20×(4×12−2×2)2
(4+2)×(2+12)×(4+2)×(2+12)
≈5.4875＞5.024．
又P（K2≥5.024）=0.025，
因此根据这次抽查数据在犯错误的概率不超过0.025的前提下，
可以认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系．（12分）
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