设f(x)是定义在（0,正无穷大）上的非常函数（高一）对于任意的x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y),成立,且当x>1时,恒有f(x)1证明(1)f(x)f(1/x)=1(2)f(x)在（0,正无穷大）为单调函数
2019-06-02
设f(x)是定义在（0,正无穷大）上的非常函数（高一）
对于任意的x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y),成立,且当x>1时,恒有f(x)1
证明
(1)f(x)f(1/x)=1
(2)f(x)在（0,正无穷大）为单调函数
优质解答
(1)
由任意x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y)
可知,对任意x,有f(x)=f(x)f(1),所以f(1)=1
所以f(x)f(1/x)=f(x × 1/x)=f(1)=1
(2)
在（0,正无穷大）取任意x2>x1,有x2/x1>1
f(x2)=f(x1)f(x2/x1)
当x>1时,恒有f(x)1,也就是f(x2/x1)恒1
所以,恒有f(x2)f(x1)
即f(x)在（0,正无穷大）为单调函数
(1)
由任意x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y)
可知,对任意x,有f(x)=f(x)f(1),所以f(1)=1
所以f(x)f(1/x)=f(x × 1/x)=f(1)=1
(2)
在（0,正无穷大）取任意x2>x1,有x2/x1>1
f(x2)=f(x1)f(x2/x1)
当x>1时,恒有f(x)1,也就是f(x2/x1)恒1
所以,恒有f(x2)f(x1)
即f(x)在（0,正无穷大）为单调函数