高数应用题 在所有对角线为2根号3的长方体中,求最大体积的长方体
2019-04-14
高数应用题 在所有对角线为2根号3的长方体中,求最大体积的长方体
优质解答
设以长方体一个顶点引出的三条棱长分别为a,b,c,则有：
a²+b²+c²＝(2√3)²=12
由均值定理有：a²+b²+c²≥3*(3^)√(a²b²c²) （ 当且仅当a²＝b²＝c²即a＝b＝c＝2时取等号）
则：3*(3^)√(abc)≤12
(3^)√(abc)≤4
所以a²b²c²≤4³＝64,即abc≤8
所以当棱长a＝b＝c时,长方体的体积最大,值为8.
设以长方体一个顶点引出的三条棱长分别为a,b,c,则有：
a²+b²+c²＝(2√3)²=12
由均值定理有：a²+b²+c²≥3*(3^)√(a²b²c²) （ 当且仅当a²＝b²＝c²即a＝b＝c＝2时取等号）
则：3*(3^)√(abc)≤12
(3^)√(abc)≤4
所以a²b²c²≤4³＝64,即abc≤8
所以当棱长a＝b＝c时,长方体的体积最大,值为8.