某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如表：历史 地理[80，100][60，80）[40，60）[80，100]8m9[60，80）9n9[40，60）8157（Ⅰ） 若历史成绩在[80，100]区间的占30%，（i）求m，n的值；（ii）估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定；（Ⅱ）在地理成绩
2019-04-28
某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析，抽出的100名学生的地理、历史成绩如表：
| 历史 地理 | [80，100] | [60，80） | [40，60） |
| [80，100] | 8 | m | 9 |
| [60，80） | 9 | n | 9 |
| [40，60） | 8 | 15 | 7 |
（Ⅰ） 若历史成绩在[80，100]区间的占30%，
（i）求m，n的值；
（ii）估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定；
（Ⅱ）在地理成绩在[60，80）区间的学生中，已知m≥10，n≥10，求事件“|m-n|≤5”的概率．
优质解答
（I）（i）∵由历史成绩在[80，100]区间的占30%，
∴=0.3，解得m=13，
∴n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22．（2分）
（ii）由（i）可得
| [80，100] | [60，80） | [40，60） |
| 地理 | 25 | 50 | 25 |
| 历史 | 30 | 40 | 30 |
地理==70，=[25×(90-70)2+50×(70-70)2+25×(50-70)2]=200…(4分)历史==70，=[30×(90-70)2+40×(70-70)2+30×(50-70)2]=240…(6分)
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定．（7分）
（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，所以满足条件的（m，n）有：
（10，25）、（11，24）、（12，23）、（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）、（25，10）共16中，且每组出现都是等可能的．（9分）
记：“|m-n|≤5”为事件A，则事件A包含的基本事件有：
（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、（19，16）、（20，15）共6种．（11分）
所以P(A)==（12分）
（I）（i）∵由历史成绩在[80，100]区间的占30%，
∴=0.3，解得m=13，
∴n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22．（2分）
（ii）由（i）可得
| [80，100] | [60，80） | [40，60） |
| 地理 | 25 | 50 | 25 |
| 历史 | 30 | 40 | 30 |
地理==70，=[25×(90-70)2+50×(70-70)2+25×(50-70)2]=200…(4分)历史==70，=[30×(90-70)2+40×(70-70)2+30×(50-70)2]=240…(6分)
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定．（7分）
（II）由已知可得m+n=35且m≥10，n≥10，所以满足条件的（m，n）有：
（10，25）、（11，24）、（12，23）、（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）、（25，10）共16中，且每组出现都是等可能的．（9分）
记：“|m-n|≤5”为事件A，则事件A包含的基本事件有：
（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、（19，16）、（20，15）共6种．（11分）
所以P(A)==（12分）