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全等三角形
3. （2011浙江衢州,1,3分）如图,OP平分,MONPAON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若2PA,则PQ的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
【答案】B
1. （2011江西,16,3分）如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起,且∠DAB=30°.有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：
DE=3：4,其中正确结论的序号是 .（错填得0分,少填酌情给分）
【答案】①②③
10．（2011四川内江,18,9分）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想．
【答案】BE=EC,BE⊥EC
A
B
C
D
E
（第6题）
A
O
N
MQ
P
∵AC=2AB,点D是AC的中点 ∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45° ∴∠EAB=∠EDC=135° ∵EA=ED ∴△EAB≌△EDC ∴∠AEB=∠DEC,EB=EC ∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC,BE⊥EC
16．（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. （Ⅱ）∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行?若可行,请证明；若不可行,请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由. 【答案】（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. „„„„„„„„„„„2分
（2）方案（Ⅱ）可行. „„„„„„„„„„„3分
证明：在△OPM和△OPN中
OPOPPNPMOPOM
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) „„„„„„„„„„„5分
（3）当∠AOB是直角时,此方案可行. „„„„„„„„„„„6分
∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB, 且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当∠AOB不为直角时,此方案不可行. „„„„8分
23．（2010湖南娄底）如图10,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD
【答案】（1）因为E是CD的中点,所以DE=CE.因为AB//CD,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.（2）因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,所以BE是线段AF的垂直平分线,所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.
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全等三角形
3. （2011浙江衢州,1,3分）如图,OP平分,MONPAON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若2PA,则PQ的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
【答案】B
1. （2011江西,16,3分）如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起,且∠DAB=30°.有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：
DE=3：4,其中正确结论的序号是 .（错填得0分,少填酌情给分）
【答案】①②③
10．（2011四川内江,18,9分）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想．
【答案】BE=EC,BE⊥EC
A
B
C
D
E
（第6题）
A
O
N
MQ
P
∵AC=2AB,点D是AC的中点 ∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45° ∴∠EAB=∠EDC=135° ∵EA=ED ∴△EAB≌△EDC ∴∠AEB=∠DEC,EB=EC ∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC,BE⊥EC
16．（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. （Ⅱ）∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行?若可行,请证明；若不可行,请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由. 【答案】（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. „„„„„„„„„„„2分
（2）方案（Ⅱ）可行. „„„„„„„„„„„3分
证明：在△OPM和△OPN中
OPOPPNPMOPOM
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) „„„„„„„„„„„5分
（3）当∠AOB是直角时,此方案可行. „„„„„„„„„„„6分
∵四边形内角和为360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA,PN⊥OB, 且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当∠AOB不为直角时,此方案不可行. „„„„8分
23．（2010湖南娄底）如图10,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD
【答案】（1）因为E是CD的中点,所以DE=CE.因为AB//CD,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以△ADE≌△FCE.所以FC=AD.（2）因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,所以BE是线段AF的垂直平分线,所以AB=FB.因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.
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