数学
某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校

2019-04-19

某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．
（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．
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优质解答
（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，
解得x=0.004，
∴甲学校的合格率为1-10×0.004=0.96，
而乙学校的合格率为：1-
2
50
=0.96，
故甲乙两校的合格率相同．
（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，
则随机抽取2名学生的基本事件有：
{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，
{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，
其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，
∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=
9
15
=
3
5
． （Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，
解得x=0.004，
∴甲学校的合格率为1-10×0.004=0.96，
而乙学校的合格率为：1-
2
50
=0.96，
故甲乙两校的合格率相同．
（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，
则随机抽取2名学生的基本事件有：
{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，
{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，
其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，
∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=
9
15
=
3
5
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