0.9...=1是一个错误.应该改正.请查看李长白数学网中的证明.无穷很复杂.需要仔细.0.9…=1是一个伪命题1.0.9…=1是个伪命题现在数学界都认为0.9…=1.这个知识点甚至在我国的小学中已经讲授.但是它是个伪命题.0.9…和1的差别只不过是非常非常小,所以有一些时候可以忽略.但是不可能证明二者严格相等.恐怕它就像当年的欧几里得的第五公设一样,看起来容易,实际上却无法证明.而证明0.9…≠1则更容易.2.0.9…=1的源头0.9…=1的结果可能源于1÷3的结果.我们现在都以为1÷3 = 0.3…
2019-06-02
0.9...=1是一个错误.应该改正.请查看李长白数学网中的证明.无穷很复杂.需要仔细.
0.9…=1是一个伪命题
1.0.9…=1是个伪命题
现在数学界都认为0.9…=1.这个知识点甚至在我国的小学中已经讲授.
但是它是个伪命题.0.9…和1的差别只不过是非常非常小,所以有一些时候可以忽略.但是不可能证明二者严格相等.恐怕它就像当年的欧几里得的第五公设一样,看起来容易,实际上却无法证明.而证明0.9…≠1则更容易.
2.0.9…=1的源头
0.9…=1的结果可能源于1÷3的结果.
我们现在都以为
1÷3 = 0.3… (2.1)
于是把（2.1）式的两侧同时乘以3,就得到
1 = 0.9… （2.2）
3.这个源头有错误
初看起来,（2.2）的结果没有问题.但是这只是“粗”看.仔细地看,就会发现有问题.我们利用竖式说明.
0.33… （3.1）
3）1.0
- 9
10
-9
1…
从竖式（3.1）容易发现,1除以3之所以得到0.3…,是因为在这个计算中始终有余数1存在.如果在哪一步再没有余数1了,则就不是无穷循环小数了,就是有限小数了.所以余数的存在非常重要.没有余数,就没有无穷循环小数.
（3.1）式也可以写成横式如下：
1÷3 =（0.9 + 0.1）÷3 = 0.3 + 0.1 ÷3 = 0.3 +（0.09 +0.01）÷3 = 0.33 +0.01÷3 =…
（3.2）
但是（3.2）式对小学生可能困难一些.竖式对小学生可能更容易接受.
4.斯蒂文已经指出了这个问题
目前我没有查到谁是第一个发现了无限循环小数的人.在数百年前,斯蒂文（Simon Stevin,1548-1620）发现循环小数的出现的时候,这样写是可以原谅的.值得特别指出的是他当时也注意到了如（3.2）的写法才是正确的,只是没有特别坚持正确的写法.[1]
5.所有关于0.9…=1的证明中都存在错误
我查阅了很多关于0.9…=1的证明,发现其中都存在错误.此文中批评的错误只是一例.限于篇幅,不多谈.有兴趣的读者可以查看我的网页《李长白数学网》中的有关文章.
注1：可能是斯蒂文《十进算术》第一个提出有的分数可以化为无限循环小数,见李文林主编《数学珍宝》科学出版社1998年10月第1版225-236,特别是232.
优质解答
不是,那上面的所有论述都有问题,没有深入循环小数的本质.不过从上面的论述看出初等数学对这个问题是含糊不清的.要把眼光转移到高等数学.循环小数最本质的定义是数学分析背景的,是定义一个数列的极限.比如0.33...定义是lim(n→∞) ∑(1到n) (3/10^n)这个极限,可以有严格证明（关于极限理论我几句话说不清,你可以去查一查标准数学分析或者微积分、高等数学之类的相关书籍）.用这个观点看1=0.99. 当然非标准分析学的理论我也不是很清楚,但肯定也可以解决这个问题.
不是,那上面的所有论述都有问题,没有深入循环小数的本质.不过从上面的论述看出初等数学对这个问题是含糊不清的.要把眼光转移到高等数学.循环小数最本质的定义是数学分析背景的,是定义一个数列的极限.比如0.33...定义是lim(n→∞) ∑(1到n) (3/10^n)这个极限,可以有严格证明（关于极限理论我几句话说不清,你可以去查一查标准数学分析或者微积分、高等数学之类的相关书籍）.用这个观点看1=0.99. 当然非标准分析学的理论我也不是很清楚,但肯定也可以解决这个问题.