数学
如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分） 学号1 23 45 678 910 1112 1314 15 数学成绩 114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60 物理成绩 7249 5129 5749 62 2263 2942 2137 4621 学号 16 1718192021222324252627282930 数学成绩 89 74829564875665436464856656 51 物理成绩 65 4533282928393

2019-05-28

如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）
 学号1 23 45 678 910 1112 1314 15
 数学成绩 114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60
 物理成绩 7249 5129 5749 62 2263 2942 2137 4621
 学号 16 1718192021222324252627282930
 数学成绩 89 74829564875665436464856656 51
 物理成绩 65 4533282928393445353534202939
将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．
（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？
 物理Ⅰ物理Ⅱ合计 
 数学Ⅰ 4  
 数学Ⅱ  15 
 合计   30
（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．
可能用到的公式和参考数据：K2=
(a+b+c+d)(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

独立性检验临界值表（部分）
 P（K2≥k0） 0.150 0.1000.050 0.0250.010
 k0 2.0722.706 3.8415.024 6.635
优质解答
（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；
 物理Ⅰ物理Ⅱ合计 
 数学Ⅰ 411 15 
 数学Ⅱ 0 1515 
 合计 4 26 30
假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得
K2=
(a+b+c+d)(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=
30×(4×15-0×11)2
15×15×4×26
=
60
13
≈4.61>3.841，
根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，
即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；
（2）由题意知ξ满足超几何分布，
从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有
C
2
30
=435种可能，
抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是
C
2
4
435
=
6
435
=
2
145
，
抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是
C
1
4
•C
1
26
435
=
104
435
，
抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1-
6
435
-
104
435
=
325
435
=
65
87
，
所以ξ的分布列为：
ξ012
P（ξ）
65
87
104
435
2
145
ξ的数学期望为Eξ=0×
65
87
+1×
104
435
+2×
2
145
=
116
435
． （1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；
 物理Ⅰ物理Ⅱ合计 
 数学Ⅰ 411 15 
 数学Ⅱ 0 1515 
 合计 4 26 30
假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得
K2=
(a+b+c+d)(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=
30×(4×15-0×11)2
15×15×4×26
=
60
13
≈4.61>3.841，
根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，
即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；
（2）由题意知ξ满足超几何分布，
从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有
C
2
30
=435种可能，
抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是
C
2
4
435
=
6
435
=
2
145
，
抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是
C
1
4
•C
1
26
435
=
104
435
，
抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1-
6
435
-
104
435
=
325
435
=
65
87
，
所以ξ的分布列为：
ξ012
P（ξ）
65
87
104
435
2
145
ξ的数学期望为Eξ=0×
65
87
+1×
104
435
+2×
2
145
=
116
435
．
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