优质解答
我用的是枚举法.我在网上搜“100之内的勾股数”,得到50组勾股数.
先把他们按从小到大的顺序写在纸上,自然有些数会重复,就把它写在原来数字的下面.50组写完后,发现有些数并没有重复,可以将它们舍弃,因为它们填不进九宫格（我们要找的数必须至少有两组以上的勾股数,才能填进九宫格,使得纵、横都组成勾股数）.
经过第一步的筛选,我们进一步发现,并不是每个有两组勾股数的数都满足要求,比如5,它有勾股数5,12,13和3,4,5,但是显然3,4,5是填不进九宫格的,因为3只有一组勾股数!所以必须把类似5这样的数也舍弃.这样做的办法是：考察每组勾股数,若一组数中存在一个只有一组勾股数的数,那么舍弃这组数.
上述工作看似繁琐,但是如果把找来的50组勾股数复制到word里,利用搜索功能,很快即可完成了!
经过两轮的筛选,我们只得到12组勾股数!它们是：
i=15 j=20 k=25
i=15 j=36 k=39
i=20 j=48 k=52
i=24 j=32 k=40
i=24 j=45 k=51
i=25 j=60 k=65
i=32 j=60 k=68
i=36 j=48 k=60
i=39 j=52 k=65
i=40 j=75 k=85
i=45 j=60 k=75
i=51 j=68 k=85
容易发现,它们都符合我们目前的要求,除了60有4组勾股数,其余的数皆有2组勾股数.虽然我们取得了很大的进展,但是接下来的问题就是怎么把这17个数组成的12组勾股数填入九宫格?得来全不费工夫,随便往九宫格的一个角开始填数,第一个数15.那么第一行有两种填法,即15,20,25和15,25,20（两种填法实质相同,稍后会发现）.相应地,第一列也有两种填法,即15,36,39和15,39,36.到这里似乎明朗了许多,按照我提供的12组数,很容易把九宫格完成,至少有九种填法,行与行,列与列之间的交换都无关紧要.下面是其中一种情况：
15 25 20
36 60 48
39 65 52
不要忘了,我提供的有17个数,60似乎很有勾股缘,它将17个数分为两组,上面例子中的8个数,以及剩下的8个数.容易发现,剩下的8个数与60同样能填入九宫格.下面是其中一种情况：
24 32 40
45 60 75
51 68 85
所以最终有18种填法.
我用的是枚举法.我在网上搜“100之内的勾股数”,得到50组勾股数.
先把他们按从小到大的顺序写在纸上,自然有些数会重复,就把它写在原来数字的下面.50组写完后,发现有些数并没有重复,可以将它们舍弃,因为它们填不进九宫格（我们要找的数必须至少有两组以上的勾股数,才能填进九宫格,使得纵、横都组成勾股数）.
经过第一步的筛选,我们进一步发现,并不是每个有两组勾股数的数都满足要求,比如5,它有勾股数5,12,13和3,4,5,但是显然3,4,5是填不进九宫格的,因为3只有一组勾股数!所以必须把类似5这样的数也舍弃.这样做的办法是：考察每组勾股数,若一组数中存在一个只有一组勾股数的数,那么舍弃这组数.
上述工作看似繁琐,但是如果把找来的50组勾股数复制到word里,利用搜索功能,很快即可完成了!
经过两轮的筛选,我们只得到12组勾股数!它们是：
i=15 j=20 k=25
i=15 j=36 k=39
i=20 j=48 k=52
i=24 j=32 k=40
i=24 j=45 k=51
i=25 j=60 k=65
i=32 j=60 k=68
i=36 j=48 k=60
i=39 j=52 k=65
i=40 j=75 k=85
i=45 j=60 k=75
i=51 j=68 k=85
容易发现,它们都符合我们目前的要求,除了60有4组勾股数,其余的数皆有2组勾股数.虽然我们取得了很大的进展,但是接下来的问题就是怎么把这17个数组成的12组勾股数填入九宫格?得来全不费工夫,随便往九宫格的一个角开始填数,第一个数15.那么第一行有两种填法,即15,20,25和15,25,20（两种填法实质相同,稍后会发现）.相应地,第一列也有两种填法,即15,36,39和15,39,36.到这里似乎明朗了许多,按照我提供的12组数,很容易把九宫格完成,至少有九种填法,行与行,列与列之间的交换都无关紧要.下面是其中一种情况：
15 25 20
36 60 48
39 65 52
不要忘了,我提供的有17个数,60似乎很有勾股缘,它将17个数分为两组,上面例子中的8个数,以及剩下的8个数.容易发现,剩下的8个数与60同样能填入九宫格.下面是其中一种情况：
24 32 40
45 60 75
51 68 85
所以最终有18种填法.