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（1977•江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？

2019-05-03

（1977•江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？
优质解答
过点K作两条平行直线的公垂线PQ，
设PQ=l，MN=m，
令PK=x，则KQ=l-x
∴△EMK∽△FNK，
∴
ME
NF
＝
MK
NK
.
又∵△MKP∽△NKQ，
∴
MK
NK
＝
KP
KQ
.
于是得到
ME
NF
＝
KP
KQ
，NF＝
ME•KQ
KP
＝
a(l−x)
x
.
从而△EMK与△FNK的面积之和为
A＝
1
2
•x•a+
1
2
•(l−x)•
a(l−x)
x

=
a
2
[x+
(l−x)2
x
]
=
a
2
•
2x2−2lx+l2
x

=a•(x−l+
l2
2x
)
=a[(
x
−
l
2x
)2+(
2
−1)l]
∴当
x
−
l
过点K作两条平行直线的公垂线PQ，
设PQ=l，MN=m，
令PK=x，则KQ=l-x
∴△EMK∽△FNK，
∴
ME
NF
＝
MK
NK
.
又∵△MKP∽△NKQ，
∴
MK
NK
＝
KP
KQ
.
于是得到
ME
NF
＝
KP
KQ
，NF＝
ME•KQ
KP
＝
a(l−x)
x
.
从而△EMK与△FNK的面积之和为
A＝
1
2
•x•a+
1
2
•(l−x)•
a(l−x)
x

=
a
2
[x+
(l−x)2
x
]
=
a
2
•
2x2−2lx+l2
x

=a•(x−l+
l2
2x
)
=a[(
x
−
l
2x
)2+(
2
−1)l]
∴当
x
−
l
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