（2014•湖北模拟）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=1，x∈Q0，x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4
2019-03-31
（2014•湖北模拟）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
优质解答
①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；
接下来判断三个命题的真假
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=-，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
∴A（，0），B（0，1），C（-，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：C．
①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；
接下来判断三个命题的真假
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=-，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0
∴A（，0），B（0，1），C（-，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：C．