请教高数达人：积分几何学应用问题请问高数达人：为什么旋转体的侧面积公式要用弧微分而体积不用啊?请给出证明,
2019-04-14
请教高数达人：积分几何学应用问题
请问高数达人：为什么旋转体的侧面积公式要用弧微分而体积不用啊?
请给出证明,
优质解答
这是因为积分元素不同引起的.设y＝f（x）≥0,绕x轴旋转,x∈[a,b]
旋转体的侧面积的积分元素是2πf（x）ds [圆的窄带,但两边半径不同]
（ds）²＝（dx）²+（dy）²
∴S＝∫[a,b]｛2πf（x）√[1+y′²]dx.
而旋转体的体积的积分元素是π（f（x））²dx [薄圆饼]
∴V＝∫[a,b]｛π（f（x））²｝dx
这是因为积分元素不同引起的.设y＝f（x）≥0,绕x轴旋转,x∈[a,b]
旋转体的侧面积的积分元素是2πf（x）ds [圆的窄带,但两边半径不同]
（ds）²＝（dx）²+（dy）²
∴S＝∫[a,b]｛2πf（x）√[1+y′²]dx.
而旋转体的体积的积分元素是π（f（x））²dx [薄圆饼]
∴V＝∫[a,b]｛π（f（x））²｝dx