求解关于a,b的二元方程组：{a^2 + m == b,b^2 + m == a},m为范围恰当的已知值.请给出高中生可理解的代数凑配过程。不要考虑四次方程求根理论。
2019-04-13
求解关于a,b的二元方程组：{a^2 + m == b,b^2 + m == a},m为范围恰当的已知值.
请给出高中生可理解的代数凑配过程。不要考虑四次方程求根理论。
优质解答
a^2+m=b
b^2+m=a
a^2=b-m (1)
b^2=a-m (2)
两式相减,得
(a+b)(a-b)=b-a
当a=b时,方程组可化为一元二次方程求解
当a不等于b时,有
a+b=-1 (3)
(1)、(2)两式相加
a^2+b^2=a+b-2m (4)
由(3)可知
a^2+b^2=1-2ab
故（4）可化简为
1-2ab=-1-2m
所以ab=m+1
又a+b=-1
故a、b为一元二次方程x^2+x+m+1=0的两根
于是便可求解
a^2+m=b
b^2+m=a
a^2=b-m (1)
b^2=a-m (2)
两式相减,得
(a+b)(a-b)=b-a
当a=b时,方程组可化为一元二次方程求解
当a不等于b时,有
a+b=-1 (3)
(1)、(2)两式相加
a^2+b^2=a+b-2m (4)
由(3)可知
a^2+b^2=1-2ab
故（4）可化简为
1-2ab=-1-2m
所以ab=m+1
又a+b=-1
故a、b为一元二次方程x^2+x+m+1=0的两根
于是便可求解